1、第一节 导数的概念及运算,1.导数的有关概念,2.导数的几何意义,3.基本初等函数的导数公式,4.导数的运算法则,教材研读,考点一 导数的计算,考点二 导数的几何意义,考点突破,1.导数的有关概念(1)平均变化率:函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为 ,若记x2-x1=x, f(x2)-f(x1)=y,则平均变化率可表示为 .,教材研读,(2)函数f(x)在x=x0处的导数:设函数f(x)在区间(a,b)上有定义,x0(a,b),当 x无限趋近于0时,比值 = 无限趋近于一个常 数A,则称f(x)在点x=x0处可导,并称该常数A为函数 f(x)在点x=x0处的 导数 ,记作 f (x0
2、) . (3)导函数:如果函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,那么其导数值在(a, b)内构成一个新的函数,叫做f(x)在区间(a,b)内的 导函数 ,记作 f (x) .,2.导数的几何意义 函数f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线的斜率, 即k=f (x0),则切线方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0).,3.基本初等函数的导数公式,4.导数的运算法则,1.(2018江苏南通海安高级中学阶段检测)已知曲线y= (x0)的一条切线 的斜率为-4,则切点的横坐标为 .,答案 -1,解析 y=- ,x0,令- =4,解得x=-1,即切点
3、的横坐标为-1.,2.若f (x0)=2,则当k无限趋近于0时, = .,答案 -1,解析 f (x0)=2, =- f (x0)=-1.,3.如图,曲线y=f(x)在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f (5)= .,答案 2,解析 由题意可得f(5)+f (5)=3+(-1)=2.,4.若直线y=-x+b为曲线y= 的一条切线,则b= .,答案 2,解析 y= ,则y=- ,则有- =-1,解得x=1,则切点坐标为(1,1)或(-1,-1), 代入切线方程得b=2.,5. 曲线y= x-cos x在x= 处的切线方程为 .,答案 y=x- -,解析 当x= 时,y= - ,又y=
4、 +sin x,则当x= 时,y=1,则所求的切线 方程为y- =x- ,即y=x- - .,6.(2019盐城高三模拟)已知函数f(x)=ex-f(0)x+ x2,则f (1)= .,答案 e,解析 由题意得f(0)=e0-f(0)0+ 02=1,则f(x)=ex-x+ x2,所以f (x)=ex-1+x, 所以f (1)=e1-1+1=e.,考点一 导数的计算 典例1 分别求下列函数的导数: (1)y=excos x;(2)y=x ; (3)y=x-sin cos .,考点突破,解析 (1)y=(ex)cos x+ex(cos x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin
5、 x). (2)y=x3+1+ ,y=3x2- . (3)y=x-sin cos =x- sin x, y= =1- cos x.,方法技巧 1.求函数的导数的一般原则:(1)遇到连乘的形式,先展开化为多项式形 式,再求导;(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂的形式,再求导;(3)遇到 复杂的分式,先将分式化简,再求导. 2.求复合函数的导数的一般步骤:(1)分清复合关系,适当选定中间变量, 正确分解关系;(2)分层求导,弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求导 数.,1-1 分别求下列函数的导数: (1)y= + ; (2)y=sin2 .,解析 (1)y= + = , y= = . (2)y=
6、sin2 = (1-cos x)= - cos x,y=- (cos x)=- (-sin x)= sin x.,考点二 导数的几何意义 角度一 求切线方程 典例2 (1)(2018江苏泰州中学高三月考)若幂函数f(x)的图象经过点 A(4,2),则它在A点处的切线方程为 . (2)已知曲线y= x3上一点P ,则过点P的切线方程为 .,答案 (1)x-4y+4=0 (2)3x-3y+2=0或12x-3y-16=0,解析 (1)设f(x)=xa,则由题意得4a=2,即a= , 所以f(x)= ,则 f (x)= , 故曲线f(x)在A点处的切线的斜率k= = , 所以曲线f(x)在A点处的切线
7、的方程为y-2= (x-4), 即x-4y+4=0. (2)设切点坐标为 ,由y= =x2,得y = ,所以过点P的切线的 斜率为 .,已知切线过点P ,若x02,则 = ,解得x0=-1,此时切线的斜率 为1;若x0=2,则切线的斜率为4. 故所求的切线方程是y- =x-2或y- =4(x-2), 即3x-3y+2=0或12x-3y-16=0.,易错警示 “在某点的切线”与“过某点的切线”不同:“在某点的切线”问题, 该点一定在曲线上,而且一定是切点,求导后直接代入点的横坐标即可 求得切线的斜率;“过某点的切线”问题,该点不一定在曲线上,即使在 曲线上,该点也不一定是切点,这时可设切点坐标为
8、(x0, f(x0),求出切线的 斜率k=f (x0),写出切线方程,再代入点的坐标求解.,典例3 (1)(2018江苏泰州中学月考)若曲线y= x2与曲线y=aln x在它们 的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a的值为 . (2)(2018常州教育学会学业水平检测)已知函数f(x)=bx+ln x,其中bR. 若过原点且斜率为k的直线与曲线y=f(x)相切,则k-b的值为 .,角度二 求参数的值,答案 (1)1 (2),解析 (1)由题意可得 解得 (2)f (x)=b+ .设切点坐标为(x0,bx0+ln x0),则 解得x0=e,则k-b = = .,规律总结 参数可能在切点、切
9、线方程或曲线方程中,但无论在哪里,都需要切点 坐标(没有切点就设出切点坐标),再利用切点在切线上和在曲线上以及 导数的几何意义建立方程组求解.,典例4 (1)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切 线垂直,则点P的坐标为 . (2)(2019苏北四市模拟)已知P是曲线y= x2- ln x上的动点,Q是直线y= x-1上的动点,则|PQ|的最小值为 .,角度三 求切点坐标,答案 (1)(1,1) (2),解析 (1)函数y=ex的导函数为y=ex, 设曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1,则k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00),易知函数y= 的
10、导函数为y=- , 设曲线y= (x0)在点P处的切线的斜率为k2,则k2=- . 易知k1k2=-1,即1 =-1,解得 =1,又x00, x0=1.又点P在曲线y= (x0)上, y0=1,故点P的坐标为(1,1).,(2)平移直线y= x-1,当与曲线y= x2- ln x相切时,切点到直线y= x-1的 距离即为|PQ|的最小值.函数y= x2- ln x的导函数y= x- ,所以 x- =,x0,解得x=2,则切点P ,则|PQ|的最小值为 = .,方法技巧 求切点坐标的方法 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先对函数求导,然后让导函 数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将
11、横坐标代入函数解析式 求出切点的纵坐标.,角度四 切线的应用 典例5 已知方程kx+1=|ln x|在(0,e3)上有三个不等的实根,则实数k的取 值范围是 .,答案,解析 令f(x)=kx+1、g(x)=|ln x|,x(0,e3),易知函数f(x)=kx+1与g(x)=|ln x| 的图象在(0,1)上一定有一个交点,依题意得只需函数f(x)=kx+1,g(x)=ln x 的图象在(1,e3)上有2个交点即可.作出函数f(x)=kx+1,g(x)=ln x的图象如 图所示.设直线f(x)=kx+1与曲线g(x)=ln x相切于点(a,b),则 解得 k=e-2.对数函数g(x)=ln x的
12、增长速度越来越慢,直线f(x)=kx+1过定点(0,1),方程|ln x|=kx+1中取x=e3得k=2e-3,实数k的取值范围是 .方法技巧 这类求参数的取值范围问题的实质是过定点作曲线的切线,利用导数的 几何意义求出切线的斜率即可.,2-1 曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为 .,答案 x-y+1=0,解析 y=x2+ ,y=2x- ,y|x=1=2-1=1,所求的切线方程为y-2=x-1, 即x-y+1=0.,2-2 (2017南京期中)若曲线y= 在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0 垂直,则实数a的值为 .,答案 -2,解析 y= ,y=- ,则当x=3时,y=-
13、, 由切线与直线ax+y+3=0垂直得-a=2,a=-2.,2-3 曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为 .,答案 (1,3)或(-1,3),解析 由题意可得f (x)=3x2-1.令f (x)=2,解得x=1或x=-1.又f(1)=f(-1)=3, 则点P的坐标是(1,3)或(-1,3).,2-4 (2019苏州模拟)若曲线y=ln x+ax2-2x(a为常数)不存在斜率为负数 的切线,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 设y=f(x)=ln x+ax2-2x,则f (x)= +2ax-2= (x0),由题意 得f (x)0在x0时恒成立,所以2ax2-2x+10在x0时恒成立,即2a -=- +1=- +1在x0时恒成立,所以a ,所以a的取值范 围是 .,
