1、第一节 函数的概念及其表示,1.函数与映射的概念,2.函数的相关概念,3.分段函数,教材研读,考点一 函数的概念,考点二 函数的定义域,考点突破,考点三 求函数的值域,考点四 求函数的解析式,考点五 分段函数,1.函数与映射的概念,教材研读,2.函数的相关概念,3.分段函数 在定义域内的不同部分上有着不同的 解析式 ,像这样的函数通常 叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数,其 定义域是各段自变量取值集合的 并集 ,值域是各段函数值集合的 并集 .,1.(教材习题改编)下列图象中,表示函数关系y=f(x)的有 .(只 填序号),答案 (1)(4),2.函数f(x)= 的定
2、义域为 .,答案 2,+),3.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为 .,答案 g(x)=3x2-2x,解析 设g(x)=ax2+bx+c(a0), g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点, 解得,g(x)=3x2-2x.,4.(教材习题改编)若函数y=x2的值域为1,4,则这样的函数有 个.,答案 无数,解析 如y=x2,x1,2;y=x2,x 1,2等,函数的定义域有无数 个,故这样的函数有无数个.,考点一 函数的概念 典例1 下列各组函数中,表示同一函数的序号是 . f(x)=|x|,g(x)= ; f(x)= ,g(x)=( )2;
3、 f(x)= ,g(x)=x+1; f(x)= ,g(x)= .,考点突破,答案 ,解析 中,g(x)=|x|,f(x)=g(x). 中, f(x)=|x|(xR),g(x)=x(x0). 中, f(x)=x+1(x1),g(x)=x+1(xR). 中, f(x)= 的定义域为x|x1, g(x)= 的定义域为x|x1或x-1, 两函数的定义域不同. 表示同一函数的序号是.,方法技巧 函数的值域由定义域和对应法则唯一确定,只有定义域和对应法则都相 同的函数才是同一函数.,1-1 给出以下判断: f(x)= 与g(x)= 表示同一个函数; 函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个;,
4、f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数; 若f(x)=|x-1|-|x|,则f =0. 其中正确判断的序号是 .,答案 ,解析 对于,函数f(x)= 的定义域为x|xR且x0,而函数g(x)=的定义域是R,故错误. 对于,若x=1不是函数y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与函数y=f(x)的 图象没有交点;若x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1 与y=f(x)的图象只有一个交点,即函数y=f(x)的图象与直线x=1最多有一 个交点,正确.,对于, f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同,故正确.,对于,f = - =0,f =f(0
5、)=1,故错误.,考点二 函数的定义域 角度一 已知函数解析式,求定义域,典例2 (1)(2018江苏扬州高三调研)函数f(x)= 的定义域为 . (2)(2019苏北四市高三模拟)函数y= 的定义域为 .,答案 (1)(-,-2 (2)(0,1,解析 (1)要使函数f(x)有意义, 则 -40,则 ,x-2, 故函数f(x)的定义域为(-,-2. (2)由题意得 解得0x1,故函数的定义域为(0,1.,解析 (1)要使函数f(x)有意义, 则 -40,则 ,x-2, 故函数f(x)的定义域为(-,-2. (2)由题意得 解得0x1,故函数的定义域为(0,1.,规律总结 求函数的定义域要根据函
6、数有意义的条件建立不等式(组),如分式的分 母不为0、对数式的真数大于0、二次根式的被开方式非负等,函数的定 义域必须写成集合或区间的形式.,角度二 抽象函数的定义域 典例3 (1)若函数f(x)的定义域为0,3,求函数y=f(x2-1)的定义域.,(2)已知函数f(x2-1)的定义域为0,3,求函数y=f(x)的定义域.,(3)若函数f(x)的定义域为0,3,求函数y=f(x2-1)+f(2x+1)的定义域.,解析 (1)因为函数f(x)的定义域为0,3,所以对于函数 f(x2-1)有0x2-1 3,即1x24,解得1x2或-2x-1,故函数y=f(x2-1)的定义域为- 2,-11,2.,
7、2)因为函数f(x2-1)的定义域为0,3,所以-1x2-18,故函数y=f(x)的定 义域为-1,8. (3)函数f(x)的定义域为0,3,要使函数y=f(x2-1)+ f(2x+1)有意义,则 即 解得x=1. 函数y=f(x2-1)+ f(2x+1)的定义域为1.,规律总结 求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域可由不等式ag(x)b求出. (2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b上的值域.,典例4 若函数f(x)= 的定义域为R,则实数a的取值范围是 .,角度三 已知函数的定义域,求
8、参数的取值范围,答案 -1,0,解析 由函数的定义域为R得 -10,xR恒成立,则x2+2ax-a 0,xR恒成立,则=(2a)2+4a0,解得-1a0.,方法技巧 已知函数的定义域,求参数的取值范围,一般将问题转化为含有参数的 不等式的解集问题,利用解不等式或者不等式恒成立求解.,2-1 (2018扬州高三调研)函数y=lg(4-3x-x2)的定义域为 .,答案 (-4,1),解析 要使函数y=lg(4-3x-x2)有意义,则4-3x-x20,解得-4x1,故函数的 定义域为(-4,1).,2-2 若函数f(x2+1)的定义域是-1,1,则函数f(lg x)的定义域为 .,答案 10,100
9、解析 x-1,1x2+11,2,则lg x1,2,则x10,100,故函数f(lg x) 的定义域为10,100.,2-3 若函数y= 的定义域为R,则实数m的取值范围是 .,答案 0,12),解析 由题意可得mx2+mx+30,xR恒成立,则mx2+mx+3=0在R上无 解.当m=0时,无解;当m0时,=m2-12m0,解得0m12,故实数m的取值 范围是0,12).,考点三 求函数的值域,典例5 求下列函数的值域: (1)y=x- ; (2)f(x)= ,x3,5; (3)y= (x1).,解析 (1)令 =t,t0,则x= ,则y= t2-t+ ,t0,作出二次函数的 图象可得值域为
10、 (2)f(x)= =2- 在x3,5上单调递增,则f(x)的值域为 . (3)令x-1=t,t0,则y= =t+ -22 -2,当且仅当t= 时取 等号,则函数的值域是2 -2,+).,规律总结 求函数的值域的主要方法 (1)函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域,对于一些比较简 单的函数可直接通过观察法求得值域. (2)二次函数可转化为二次方程的形式,常用配方法求值域. (3)分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离常数法求 值域;分子、分母中含有二次项的有理函数,常用判别式法求值域(主要 适用于定义域为R的函数).,(4)单调函数常根据函数的单调性求值域. (5)很多函数
11、可拆配成基本不等式的形式,利用基本不等式求值域.,(6)有些函数具有明显的几何意义,可根据几何意义求值域. (7)只要是能求导数的函数常采用导数的方法求值域.,同类练 (2018江苏盐城中学高三检测)函数y= 的值域为 .,答案,解析 因为x2+22,所以y= ,故函数的值域为 .,变式练 (2019南京、盐城高三模拟)设函数y=ex+ -a的值域为A,若A 0,+),则实数a的取值范围是 .,答案 (-,2,解析 因为ex+ -a2-a,当且仅当ex=1,x=0时取等号,所以A=2-a,+) 0,+),所以2-a0,故a2.,深化练 若函数f(x)在m,n(mn)上的值域恰好是m,n,则称m
12、n为函 数f(x)的一个“等值映射区间”.下列函数:y=x2-1,y=2+log2x,y=2x- 1,y= ,其中存在唯一一个“等值映射区间”的函数有 个.,答案 2,解析 函数y=x2-1存在-1,0和 两个“等值映射区间”,排除 ;函数y=2+log2x在定义域上递增,若存在“等值映射区间”m,n,则2+ log2m=m,2+log2n=n,即m,n是方程2+log2x=x的两个不同的根,由于函数y= 2+log2x与y=x的图象有两个不同的交点,所以函数y=2+log2x存在唯一一 个“等值映射区间”m,n,正确;与同理,可得函数y=2x-1存在唯一 一个“等值映射区间”0,1,正确;
13、函数y= 在(-,1)和(1,+)上都 是减函数,所以若存在“等值映射区间”m,n,则 =n, =m,解得m,=n,与mn矛盾,所以函数y= 不存在“等值映射区间”m,n,排除, 故存在唯一一个“等值映射区间”的函数有2个.,典例6 (1)已知f =lg x,则f(x)= . (2)已知函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=2 f -1,则f(x)= .,考点四 求函数的解析式,答案 (1)lg (x1) (2) +,解析 (1)令 +1=t, 由题意知x0,t1,则x= , f(t)=lg , f(x)=lg (x1). (2)在f(x)=2 f -1中,用 代替x, 得f =2 f
14、x) -1,将f = -1代入f(x)=2 f -1中, 可求得f(x)= + .,探究1 若将本例(1)中的条件变为“f =x2+ ”,则 f(x)= .,答案 x2+2,解析 令x- =t,则x2+ = +2=t2+2,则f(t)=t2+2,即f(x)=x2+2.,探究2 若将本例(2)中的条件变为“3 f(x+1)-2 f(1-x)=2x+17”,则f(x)= .,答案,解析 令x+1=t,则x=t-1,则3 f(t)-2 f(2-t)=2(t-1)+17=2t+15. 将t换成2-t可得3 f(2-t)-2 f(t)=2(2-t)+15=19-2t. 联立解得f(t)= ,则f(x)
15、 .,方法技巧 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待 定系数法求解. (2)配凑法:根据已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的式 子,然后用x替代g(x),即可得f(x)的解析式.,(3)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,求f(x)的解析式时可用换元法,即令g(x)=t,从中解出x,代入已知的解析式进行换元,此时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法:已知关于f(x)与f 或f(-x)的等式,可根据已知条件再构造出一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).,4-1 函数f(x)满足2f(x)-f
16、x,x0,求f(x)的解析式.,解析 由2f(x)-f =x, 得2f -f(x)= , 由可得f(x)= x+ (xR,x0).,4-2 (2017江苏兴化中学第一学期高三检测)(1)已知二次函数f(x)的图 象与x轴的两个交点坐标为(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式. (2)已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(-1,2),且经过原点,求f(x)的解 析式.,解析 (1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0), 二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点坐标为(2,0),(5,0),且f(0)=10, f(x)=x2-7x+10. (2)二次函数f(x)的图
17、象的顶点坐标是(-1,2), 可设f(x)=a(x+1)2+2(a0), 又f(x)的图象过原点,a(0+1)2+2=0,a=-2, f(x)=-2(x+1)2+2=-2x2-4x.,考点五 分段函数 角度一 求分段函数的函数值,典例7 (1)设f(x)= 则f( f(-2)= . (2)T为常数,定义fT(x)= 若f(x)=x-ln x,则f3( f2(e)的值为 .,答案 (1)-2 (2)3,解析 (1)f(f(-2)=f(10-2)=lg 10-2=-2. (2)因为f(e)=e-12,所以f2(e)=2,而f(2)=2-ln 23, 所以f3( f2(e)=3.,角度二 分段函数的
18、值域,典例8 (1)函数f(x)= 的值域为 . (2)若函数f(x)= (a0且a1)的值域是2,+),则实数a的取 值范围是 .,答案 (1)(-,1 (2)(1, ,解析 (1)当x0时, f(x)= x+11;当x0时, f(x)=-(x-1)20,则f(x)的值域 为(-,1. (2)因为函数f(x)= (a0且a1)的值域是2,+),且当x2时,f(x)= 2,所以 解得1a ,即实数a的取值范围是(1,.,典例9 (1)已知f(x)= 若f(1)+f(a+1)=5,则a的值为 . (2)设函数f(x)= 则关于x的方程f(x)= 的解为 . (3)已知实数a0,函数f(x)= 若
19、f(1-a)=f(1+a),则a的值为 .,角度三 分段函数与方程的综合,答案 (1)-1 (2)x=-1或 或 (3)-,解析 (1)易得f(1)=1(1+4)=5, f(1)+f(a+1)=5,f(a+1)=0. 当a+10,即a-1时, 有(a+1)(a+5)=0, 解得a=-1或a=-5(舍去); 当a+10,即a-1时, 有(a+1)(a-3)=0, 解得a=-1或a=3,都不符合,舍去.,综上可知,a=-1. (2)当x0时,解2x= 得x=-1; 当x0时,解|log2x|= 得x= 或x= . 所以方程f(x)= 的解为x=-1或 或 . (3)分类讨论: 当a0时,1-a1.
20、这时f(1-a)=2(1-a)+a=2-a, f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.,由f(1-a)=f(1+a)得2-a=-1-3a, 解得a=- ,不符合题意,舍去; 当a1,1+a1. 这时f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a, f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a. 由f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得a=- . 综合,知a的值为- .,方法技巧 已知分段函数的函数值求自变量的取值时,应根据每一段的解析式分别 求解,但要注意检验解得的自变量的值是否在相应段的自变量的取值范 围内.,典例10 (1)已知f(x)= 则使f(x)-1成立的x的取值范围是
21、 (2)(2019徐州高三模拟)设函数f(x)= 则满足f(f(a)(f(a)2的a 的取值范围是 .,角度四 分段函数与不等式的综合,答案 (1)-4,2 (2)(-,1),解析 (1)由题意知 或 解得-4x0或0x2,故x的取值范围是-4,2. (2)令f(a)=t,则不等式可化为f(t)t2,则 或 解得t1,即f(a) 1,则有 或 ,解得a1.,方法技巧 分段函数与不等式的综合问题,常根据分段函数的自变量对应的不同解 析式的不同特点进行分类讨论,最后结果取并集,对于比较复杂的问题 也可以借助图象,利用数形结合法求解.,5-1 已知函数f(x)= 则f(2 017)= .,答案 0
22、解析 f(2 017)=-f(2 015)=f(2 013)=f(1)=-f(-1)=-log31=0.,5-2 (2017苏州第一学期期中)若函数f(x)= (a0且a1) 的值域为6,+),则实数a的取值范围是 .,答案 (1,2,解析 当x2时, f(x)=-x+86,所以当x2时, f(x)=logax+56恒成立即 可,所以a1,loga21=logaa,所以a2,故1a2.,5-3 已知函数f(x)= 且f(x)=- ,则x的值为 .,解析 由f(x)=- 得 或 解得x=- .,答案 -,5-4 已知函数f(x)= 则不等式f(x)5的解集为 .,答案 -1,4,解析 由f(x)5得 或 解得0x4或-1x0,则 不等式f(x)5的解集为-1,4.,
