1、第四节 函数的图象,1.利用描点法作图,2.利用图象变换作图,教材研读,考点一 作函数的图象,考点二 函数图象的应用,考点突破,1.利用描点法作图 利用描点法作图的步骤如下: (1)确定函数的定义域; (2)化简函数的解析式;,教材研读,(3)讨论函数的性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)等; (4)描点,连线,画出函数的图象.,2.利用图象变换作图 (1)平移变换,y=f(x) y= f(x) ; y=f(x) y= Af(x) . (3)对称变换 y=f(x) y= -f(x) ;,(2)伸缩变换,y=f(x) y= f(-x) ; y=f(x) y= -f(-x) . (
2、4)翻折变换 y=f(x) y= f(|x|) ; y=f(x) y= |f(x)| .,知识拓展 与函数图象的对称变换有关的结论 (1)与y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象; (2)与y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象; (3)与y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.,1.直线x=a与函数y=x2+1的图象有 个公共点.,答案 1,2.函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称.,答案 y轴,3.为了得到函数y=lg 的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点 向
3、 平移3个单位长度,向 平移 个单位长度.,答案 左;下;1,4.已知函数f(x)=e|ln x|,则函数y=f(x+1)的图象大致为 .(只填序号),答案 ,解析 当x1时, f(x)=e|ln x|=eln x=x,当0x1时, f(x)=e|ln x|=e-ln x= ,函数y=f(x+ 1)的图象由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到,故正确.,5.(2017南京三中高三月考)若关于x的方程|x2-1|=a有三个不等的实数解, 则实数a的值是 .,答案 1,解析 问题转化为函数y=|x2-1|的图象与直线y=a有三个不同的交点,画 出y=|x2-1|的图象(图略),结合图象可知
4、a=1.,6.(2017江苏无锡一中高三月考)函数f(x)=x2-2|x|的单调增区间是 .,答案 -1,0,1,+),解析 在直角坐标系中作出函数f(x)的图象(图略),由图象可得f(x)的递 增区间是-1,0,1,+).,考点一 作函数的图象 典例1 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (2)y=2x+2;,考点突破,(3)y=x2-2|x|-1; (4)y= .,解析 (1)y= 的图象如图. (2)将y=2x的图象向左平移2个单位即可得到y=2x+2的图象,如图. (3)y= 的图象如图. (4)y= =1+ ,先作出y= 的图象,将其图象向右平移1个单位,向上 平移1
5、个单位,即得y= 的图象,如图.,方法技巧 函数图象的常见画法 (1)直接法:当函数的解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时, 就可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出图象.,(2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数 来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出. 易错警示 (1)画函数图象时一定要注意定义域. (2)利用图象变换法作图时要注意变换的顺序,对不能直接找到熟悉的 基本函数的要先变形.,1-1 画出下列函数的图象:,(1)y=x2-2x(|x|1); (2)f(x)
6、= ; (3)y=x|2-x|.,解析 (1)|x|1,x1, 所求函数的图象由两部分组成,如图所示.,(2)f(x)= 其图象如图所示.,(3)y=x|2-x|= 所求函数的图象由两部分组成,如图所示.,考点二 函数图象的应用 角度一 研究函数的性质,典例2 (2019江苏镇江高三模拟)已知函数y= 与y= 的图象共有 k(kN*)个公共点:A1(x1,y1),A2(x2,y2),Ak(xk,yk),则 (xi+yi)= .,答案 2,解析 函数y= 满足f(x)+f(-x)=2,则该函数的图象关于点(0,1)对称, 且在R上单调递增,y(0,2).又函数y= 的图象也关于点(0,1)对称,
7、且 在(0,+)和(-,0)上递减,所以两个函数的图象(如图)共有2个公共点: A1(x1,y1),A2(x2,y2),且这两个交点关于点(0,1)对称,则 (xi+yi)=x1+x2+y1+y2=2.,函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则该函数的图象关于直线x= 对称,反之也 成立.,规律总结 若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则该函数的图象关于点 对称;若,典例3 (1)(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区 间0,1)上, f(x)= 其中集合D= ,则方程f(x)-lg x= 0的解的个数是 . (2)(2017江苏泰州中学高
8、三月考)若函数f(x)=|2x-1|,则函数g(x)=f(f(x)+ ln x在(0,1)上不同的零点个数为 .,角度二 确定方程实根的个数,答案 (1)8 (2)3,解析 (1)由于f(x)0,1),则只需考虑1x10的情况.在此范围内,xQ 且xZ时,设x= ,p,qN*,p2且p,q互质,若lg xQ,则由lg x0,1),可 设lg x= ,m,nN*,m2且m,n互质,因此1 = ,则10n= ,此时等号左 边为整数,等号右边为非整数,矛盾.因此lg xQ. 因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等,只需考虑函数lg x 与每个周期内xD对应的部分的交点.画出函数草图,图中交
9、点除(1,0) 外,其他交点的横坐标均为无理数,且x=1处(lg x)= = 1,则在x=,1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8.(2)作出函数f( f(x)= 与y=-ln x的图象如图, 可知两图象在(0,1)上有3个交点,则g(x)在(0,1)上有3个不同 的零点.,规律总结 方程f(x)=0的实根个数或者函数y=f(x)的零点个数都可转化为函数y=f(x) 的图象与x轴的交点个数;方程f(x)=g(x)的实根个数或者函数y=f(x)-g(x) 的零点个数都可转化为函数y=f(x),y=g(x)的图象的交点个数.,典例4 (1)(2018常州教育学会学业水平检测)已知当x(0,1)时
10、,函数y= (mx-1)2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则实数m的取值范围 是 . (2)已知函数f(x)= 如果关于x的方程f(x)=k有两个不同的实 根,那么实数k的取值范围是 .,角度三 求参数的取值范围,答案 (1)(0,1)(3,+) (2),解析 (1)由题意得m2x2-(2m+1)x+1-m=0在(0,1)上只有1个根,当m=0时显 然不成立,当m0时,令f(x)=m2x2-(2m+1)x+1-m,由图象分析可得 或 解得03. (2)在同一坐标系中作出函数y=f(x),y=k的图象,由图象可知当k 时,y=f (x),y=k的图象有两个不同的交点,此时关于x的方程f
11、(x)=k有两个不同的 实根,所以实数k的取值范围是 .,规律总结 与函数的图象有关的参数的取值范围问题,一般将“形”转化为 “数”,再借助其他基本函数的图象求解.,角度四 求不等式的解集,典例5 已知函数f(x)是定义在-4,4上的偶函数,其在0,4上的图象如 图所示,则不等式 0的解集为 .,答案 ,解析 在 上,y=cos x0, 在 上,y=cos x0. 由函数f(x)的图象知在 上, 0. 因为f(x)为定义在-4,4上的偶函数,y=cos x也是偶函数, 所以y= 为定义在-4,4上的偶函数, 所以 0的解集为 .,2-1 函数y= 与y=2sin x(-2x4)的图象的所有交点
12、的横坐标之 和为 .,答案 8,解析 令1-x=t,则x=1-t.由-2x4,知-21-t4,所以-3t3.又y= 2sin x=2sin (1-t)=2sin t.在同一坐标系中作出函数y= 和y=2sin t的图象 如图所示. 可知两函数图象在-3,3上共有8个交点,且这8个交点每组都关于原点 对称. 因此这8个交点的横坐标之和为0,即t1+t2+t8=0, 即1-x1+1-x2+1-x8=0,因此x1+x2+x8=8.,2-2 (2018天津,14,5分)已知a0,函数f(x)= 若关于x的 方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是 .,答案 (4,8),解析 设g(x)=f(x)-ax= 方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的 图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况:,则 4a8.,情况一:,则 不等式组无解. 综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).,情况二:,2-3 (2018江苏泰兴中学月考)已知a0,函数f(x)= 则关 于t的不等式f - 的解集为 .,答案,解析 作出函数f(x)的图象如图,当f(x)=- 时,x=- ,由图象可得关于t的 不等式f - 即t- - ,t- ,则解集为 .,
