1、第七节 对数与对数函数,1.对数的概念,2.对数的性质与运算法则,3.对数函数的定义,4.对数函数的图象与性质,教材研读,考点一 对数的运算,考点二 对数函数的图象及应用,考点突破,考点三 对数函数的性质及应用,1.对数的概念 (1)对数的定义 如果 ab=N (a0且a1),那么就称b是以a为底N的对数,记作 b =logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.,教材研读,(2)几种常见对数,2.对数的性质与运算法则,3.对数函数的定义 一般地,我们把函数 y=logax(a0,且a1) 叫做对数函数,其中x是 自变量,函数的定义域是 (0,+) .,4.对数函数的图象与性质,1.
2、(2019南京、盐城高三模拟)函数f(x) =lg(2-x)的定义域为 .,答案 (-,2),解析 由2-x0得x2,则函数的定义域是(-,2).,2.(2018江苏苏州第一学期期末)已知4a=2,logax=2a,则正实数x= .,答案,解析 4a=2,a= ,又logax=2a,lo x=1,x= .,3.(教材习题改编)已知lg 6=a,lg 15=b,则lg 24= .(用含a,b的式子 表示),答案 2a-b+1,解析 令lg 2=x,lg 3=y,则lg 6=x+y=a,lg 15=1-x+y=b,解得x= ,y=,则lg 24=3lg 2+lg 3=3x+y=2a-b+1.,4.
3、比较大小:log25 log38.(填“”或“”),答案 ,解析 因为log252,1log38.,5. 如图,已知函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象分别是曲线C1,C2, C3,C4,则0,1,a,b,c,d的大小关系为 .(用“”连接),答案 0ba1dc,解析 作直线y=1,与曲线的交点的横坐标分别是对数函数的底数,可知 0ba1dc.,6.(教材习题改编)不等式lg(x-1)1的解集为 .,答案 x|1x11,解析 lg(x-1)10x-1101x11,故不等式的解集为x|1x11.,考点一 对数的运算 典例1 求下列各式的值: (1)log535
4、+2lo -log5 -log514; (2) +(log35)(log1003)+ .,考点突破,解析 (1)原式=log5 +2lo =log5125-1=2. (2)原式=4+ +lg =4+ (lg 5+lg 2)= .,规律总结 对数运算的一般思路 (1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形 式,使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质化简合并. (2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的 运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.,易错警示 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提 下才成立的,不能出现log2
5、12=log2(-3)(-4)=log2(-3)+log2(-4)的错误.,1-1 已知log23=a,3b=7,用a, b表示log4256.,解析 log23=a, =log32,又3b=7,b=log37, log4256= = = .,1-2 已知3a=7b=M,且 + =2,求M的值.,解析 因为3a=7b=M,所以a=log3M, b=log7M,所以 + = + =2 logM3+logM7 =logM9+logM7=logM63=2,所以M2=63,因为M0,所以M= =3.,典例2 (1)已知函数f(x)= 则函数y=f(1-x)的大致图象是 .(只填序号)(2)作出函数y=
6、|log2(x+1)|+2的图象.,考点二 对数函数的图象及应用 角度一 对数函数的图象,解析 (1)由题意可得f(1-x)= 该函数图象过点(0,3),排除 ;过点(1,1),排除;在(-,0)上单调递增,排除,故填. (2)第一步:作出y=log2x的图象,如图. 第二步:将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位,得到y=log2(x+1)的图 象,如图. 第三步:将y=log2(x+1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换,得到y=| log2(x+1)|的图象,如图.,答案 (1),第四步:将y=|log2(x+1)|的图象沿y轴向上平移2个单位,便得到所求函数 的图象,如图.,规
7、律总结 确定函数图象的方法一般有两种:一是由基本函数图象结合图象变换求 解;二是利用特殊点、单调性、奇偶性等求解.,典例3 (1)当0x 时,恒有4xlogax,则实数a的取值范围是 . (2)(2019江苏镇江模拟)方程 =|ln x|的解的个数为 .,角度二 对数函数的图象的应用,答案 (1) (2)2,解析 (1)易知0 ,则 a1.(2)在同一坐标系中作出函数y= ,y=|ln x|的大致图象如图,可知两函,数图象有两个交点,故原方程有两个解.,探究 (变条件)将本例(1)的条件变为“当x 时,恒有 logax”, 则实数a的取值范围是 .,答案,解析 易知0a1,作出函数y= ,y=
8、logax的图象如图,由图象可得只需 满足 loga 即可,解得 a1.,方法技巧 对数函数图象的应用策略 (1)对一些可以通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解 其单调性(单调区间)、值域(最值)或零点时,常利用数形结合的思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用 数形结合法求解.,2-1 (2018江苏连云港高三期中)函数y=ax与y=-logax(a0,且a1)在同 一坐标系中的图象只可能是 .(只填序号),答案 ,解析 当a1时,指数函数y=ax为增函数,而对数函数y=-logax= x为减 函数,正确,错误;当0a1时,指数函数y=ax为减函数
9、,而对数函数y=- logax= x为增函数,且定义域为(0,+),和错误.,2-2 已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0mn,且 f(m)=f(n),若f(x)在m2,n上的最大值为2,则 = .,答案 9,解析 f(x)=|log3x|,实数m,n满足0mn,且f(m)=f(n), m1n,-log3m=log3n, mn=1. f(x)在区间m2,n上的最大值为2,且函数f(x)在m2,1)上是减函数,在 (1,n上是增函数, -log3m2=2或log3n=2. 若-log3m2=2,则m= ,从而n=3,此时log3n=1=-log3m,符合题意,则 =3 =9; 若l
10、og3n=2,则n=9,从而m= ,此时-log3m2=4,不符合题意. 故 =9.,典例4 (1)设a=log23,b= ,c=log34,则a,b,c的大小关系为 .(用 “”连接) (2)(2019江苏苏州模拟)已知a=log46,b=log40.2,c=log23,则a,b,c的大小关 系是 .(用“”连接),考点三 对数函数的性质及应用 角度一 比较对数值的大小,答案 (1)cba (2)bac,解析 (1)因为log23=log2 log2 = ,即ab, log34=log3 log3 = , 即cb,所以cba. (2)c=log23=log49,且函数y=log4x在(0,+
11、)上单调递增, 则bac.,方法技巧 比较对数值的大小的方法 (1)若底数为同一常数,则可根据对数函数的单调性直接进行判断;若底 数为同一字母,则需对底数进行分类讨论. (2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.,角度二 解对数方程或不等式 典例5 (1)方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2的解为 . (2)若loga(a2+1)loga(2a)0,则实数a的取值范围是 .,答案 (1)2 (2),解析 (1)由题意得 解得x=2. (2)因为a2+11,loga(a2+1)1,即a
12、. 又a2+12a,所以loga(a2+1)loga(2a), 所以实数a的取值范围是 . 易错警示 解含有对数的方程或不等式时,要考虑对数函数的定义域和单调性,如 果底数与1的大小关系不确定,那么要分类讨论.,角度三 对数型函数的性质 典例6 已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; (3)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说 明理由.,解析 (1)因为f(x)的定义域为R, 所以ax2+2x+30对任意xR恒成立. 显然a=0时不符合题意, 从而必有
13、 即 解得a . 所以实数a的取值范围是 . (2)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,即a=-1,此时f(x)=log4(-x2+2x+ 3).,由-x2+2x+30得-1x3,即函数的定义域为(-1,3). 令t=-x2+2x+3,x(-1,3), 则t=-x2+2x+3在(-1,1上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又y=log4t在(0,+)上单调递增, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1, 单调递减区间是(1,3). (3)存在.假设存在实数a,使f(x)的最小值为0. 令h(x)=ax2+2x+3,则h(x)有最小值1,因此应有 解得a= . 故存在
14、实数a= ,使f(x)的最小值为0.,方法技巧 解与对数函数有关的函数的综合性问题要注意以下三点: (1)要注意底数的取值范围,它影响函数的单调性.若含有参数,要分类讨 论. (2)涉及单调性问题时,一定要注意定义域,同时注意复合函数的“同增 异减”法则. (3)对于比较复杂的问题要进行等价转化.,3-1 (2019南通模拟)已知a=log23+log2 ,b=log29-log2 ,则a b. (用“=”“”或“”连接),答案 =,解析 因为a=log23 ,b=log29-log2 =log2 =log23 ,所以a=b.,3-2 (2017江苏常熟高级中学高三上学期月考)已知函数f(x)
15、= 若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是 .,答案 (-1,0)(1,+),解析 当a0,即-af(-a)知log2alo a,在同一个坐标系中画 出函数y=log2x和y=lo x的图象,由图象可得a1;当a0时,同理可 得-1a0.综上可得,实数a的取值范围是(-1,0)(1,+).,3-3 (2019淮安模拟)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a0,且a1),若 f(x)1在 区间1,2上恒成立,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 当a1时, f(x)=loga(8-ax)在1,2上是减函数,由于f(x)1在1,2上 恒成立,所以f(x)min=loga(8-2a)1,故11,且8-2a0,a4,且a4, 显然这样的a不存在. 综上可知,实数a的取值范围是 .,
