1、第八节 解三角形的综合应用,2.实际问题中的常用角,3.解关于解三角形的应用题的一般步骤,教材研读,考点一 解三角形与其他知识的综合,考点二 解三角形在实际问题中的应用,考点突破,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、 角度问题,计算面积问题等.,教材研读,2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在 水平线 上方 的角叫仰角,目标视线在水平线 下方 的角叫俯 角(如图).,(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30,北 偏西45等. (3)方位角 从 正北 方向顺时针转到目标方向的水平角叫
2、做方位角,如点B的,方位角为(如图). (4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角. (附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比),3.解关于解三角形的应用题的一般步骤 (1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的 关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题; (3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解; (4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中的有关单位、近似计 算等要求.,1.若海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10海里,BAC=60,ABC =75,则B,C两个小岛间的距离是 海里.,答案 5,解析 由正弦定理,得 = ,
3、又AB=10海里,所以BC=5 海里.,2.(教材习题改编)把一根长为30的木条锯成两段,分别作钝角三角形 ABC的两边AB和BC,且ABC=120,则当第三条边最短时锯成的两段长 度分别为 .,答案 15;15,解析 设AB=x,在ABC中,由余弦定理可得,AC2=x2+(30-x)2+x(30-x)=x2-30x+900,x(0,30),当x=15时,AC取得最小值.,3.(教材习题改编)已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且a,b的夹角为135,b,c的 夹角为120,|c|=2,则|a|= .,答案,解析 如图,在ABC中, =a, =b, =c,则ABC=45,BCA=60, 由正
4、弦定理可得 = ,又|c|=2,所以解得|a|= .,4.(教材习题改编)圆O的直径为2,A为直径延长线上的一点,OA=2,B为半 圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC,AOB=,则当= 时,四边形OACB的面积最大.,答案,解析 在AOB中,OA=2,OB=1,由余弦定理得AB2=5-4cos ,四边形 OACB的面积为SAOB+SABC=sin + (5-4cos )=2sin + ,因为 (0,),所以- ,当- = ,= 时,四边形OACB的面积最 大.,5.在三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-c2=2b, =3,则b = .,答案 4,解析 由 =
5、3得tan A=3tan C,即 = ,sin Acos C=3sin Ccos A. 由正弦定理和余弦定理可得a =3c ,化简得2 =b2.又a2-c2=2b,则4b=b2. 因为b0,解得b=4.,6.如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发,沿北 偏东60方向进行海面巡逻,当航行半小时到达B处时,发现北偏西45方 向有一艘船C,若船C位于A的北偏东30方向上,则缉私艇所在的B处与 船C的距离是 .,答案 10( - )km,解析 由题意知BAC=60-30=30,ABC=30+45=75,ACB=1 80-75-30=75,AC=AB=40 =20(km).,由
6、余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ACABcosBAC=202+202-22020cos 30=800-400 =400(2- ), BC= = =10( - )(km), 缉私艇所在的B处与船C的距离是10( - )km.,考点一 解三角形与其他知识的综合 角度一 解三角形与三角函数的综合 典例1 (2018江苏海安高级中学高三月考)已知函数f(x)=2sin cosx. (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期; (2)设ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2 ,f(C)= ,若sin B=2sin A,考点突破,求边a,b的值.,解析 (1)f(x)=2sin cos
7、x=2 sin x- cos x cos x= sin xcos x- cos2x= sin 2x- =sin - ,当且仅当2x- =2k+ ,kZ,即x = +k,kZ时, f(x)max= . 最小正周期T= =. (2)因为f(C)=sin - = ,所以sin =1,因为0C,所以- 2 C- ,所以2C- = ,即C= .sin B=2sin A,由正弦定理得b=2a,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos ,代入c=2 ,得a2+b2-ab=12, 由 解得 方法技巧 解三角形与三角函数的综合问题时,要借助三角函数的性质和图象,结 合三角形中角的范围,充分利用正弦定理、余弦定
8、理,有时还要结合基 本不等式求解.,典例2 (2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)在ABC中,三个内 角A,B,C的对边分别为a,b,c,设ABC的面积为S,且4S= (a2+c2-b2). (1)求B的大小; (2)设向量m=(sin 2A,3cos A),n=(3,-2cos A),求mn的取值范围.,角度二 解三角形与平面向量的综合,解析 (1)由题意得4 acsin B= (a2+c2-b2), 则sin B= ,所以sin B= cos B. 因为B(0,),sin B0,所以cos B0, 所以tan B= ,所以B= . (2)由向量m=(sin 2A,3cos A),n=
9、(3,-2cos A),得 mn=3sin 2A-6cos2A=3sin 2A-3cos 2A-3= 3 sin -3.,由(1)知B= ,所以A+C= ,所以0A , 所以2A- , 所以sin , 所以mn(-6,3 -3,即mn的取值范围是(-6,3 -3.,规律总结 解三角形与平面向量的综合问题时,根据所给的平面向量的条件,包括 两个向量平行、垂直、数量积等,先将其转化为三角形的边角关系,再 利用三角形的知识求解.,1-1 (2018江苏泰州中学高三月考)已知f(x)= sin -cos x. (1)求f(x)在0,上的最小值; (2)已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,
10、b=5 ,cos A= ,且f(B)=1, 求边a的长.,解析 (1)f(x)= -cos x= sin x+ cos x=sin ,0 x, x+ ,当x+ = ,即x=时, f(x)min=- . (2)当x+ =2k+ ,kZ,即x=2k+ ,kZ时, f(x)有最大值1,又f(B)=1,0B ,B= , A ,cos A= ,sin A= , = ,b=5 ,a=8.,1-2 (2019南京、盐城高三模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,已知c= b. (1)若C=2B,求cos B的值; (2)若 = ,求cos 的值.,解析 (1)因为c= b,所以由正弦定理得s
11、in C= sin B. 又C=2B,所以sin 2B= sin B,即4sin Bcos B= sin B. 又B是ABC的内角,所以sin B0,所以cos B= . (2)因为 = ,所以cbcos A=bacos C,则由余弦定理得b2+c2-a2=b2 +a2-c2,得a=c,又c= b, 所以cos B= = .,又0B,所以sin B= , 从而cos =cos Bcos -sin Bsin = - =- .,典例3 (2018南京高三第三次模拟)如图,公园里有一湖泊,其边界由两 条线段AB,AC和以BC为直径的半圆弧 组成,其中AC为2百米,AC BC,A为 .若在半圆弧 ,线
12、段AC,线段AB上各建一个观赏亭D,E,F,再 修两条栈道DE,DF,使DEAB,DFAC,连接BD,记CBD= .,考点二 解三角形在实际问题中的应用,(1)试用表示BD的长; (2)试确定点E的位置,使两条栈道的长度之和最大.,解析 (1)连接DC,在ABC中,AC为2百米,ACBC,A为 ,所以 CBA= ,AB=4百米,BC=2 百米.因为BC为直径,点D在半圆弧 上,所 以BDC= ,所以BD=BCcos =2 cos (百米). (2)在BDF中,DBF=+ ,BFD= ,BD=2 cos 百米,所以= = ,所以DF=4cos sin 百米,且BF=4cos2百米,易知DE=AF
13、=(4-4cos2)百米,所以DE+DF=4-4cos2+4cos sin = sin 2-cos 2+3=2sin +3.因为 ,所以 2- , 所以当2- = ,即= 时,DE+DF有最大值,为5百米,此时E与C重合.,典例4 (2018江苏淮阴中学高三第一学期阶段检测)如图所示,江苏省 淮阴中学有一块矩形空地ABCD,其中AB=10 m,BC=10 m,该学校计划 在此矩形区域内为学生建一个灯光运动场,在BEF区域内安装一批照 明灯(E,F点在线段AC上),且EBF=30,BEF外的区域建运动场. (1)若E在距离A点的4 m处,求点E,F之间的距离; (2)为了使运动场区域的面积最大,
14、要求BEF的面积尽可能小,记 ABE=,请用表示BEF的面积S(),当S()最小时,求的值.,解析 (1)由题意得BAC=60,ACB=30,AC=20 m, ABE中,AB=10 m,AE=4 m,由余弦定理得BE=2 m,cosABE= , BEF中, = = , EF= = m. (2)ABE中, = ,则BE= m, BCF中, = ,则BF= m,S()= BEBFsin 30= = , (0,60),2+60(60,180),当2+60=90,即=15时,S()最小, 为75(2- ). 方法技巧 解三角形在实际问题中应用广泛,当实际问题中的变量是角参数时,通 常需要借助正弦定理、
15、余弦定理、三角形面积公式等建立函数关系,再 利用三角函数、不等式、导数等知识求解最值.,2-1 如图所示,甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行,乙船 按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的南偏西 75方向的B1处,此时两船相距20海里;当甲船航行20分钟后到达A2处时, 乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2处,此时两船相距10 海里.问:乙 船每小时航行多少海里?,解析 如图所示,连接A1B2,由已知得A2B2=10 (海里). A1A2=30 =10 (海里),A1A2=A2B2. 又A1A2B2=60,A1A2B2是等边三角形,A1B2=A1A2=10 (海里),
16、A2A1B2=60. 在A1B2B1中,A1B1=20(海里),B1A1B2=180-75-60=45,则B1 =A1 + A1 -2A1B1A1B2cos 45,=202+(10 )2-22010 =200, B1B2=10 (海里). 因此,乙船每小时航行 60=30 (海里).,2-2 (2018江苏南通冲刺小练(39)如图所示,有一块三角形苗木基地 APQ.(1)若A=(为定值),PQ为定长a.当AP,AQ满足什么条件时,APQ的 面积最大? (2)若AP=AQ=PQ=6米,现要铺设一条灌溉水管DE,D,E分别在边AP,AQ上,且满足SAPQ=2SADE,为了节省成本,试问怎样设计可使
17、得水管DE最短?,解析 (1)APQ中,由余弦定理得PQ2=AP2+AQ2-2APAQcosPAQ,即a2= AP2+AQ2-2APAQcos 2APAQ(1-cos ),因为1-cos 0, 所以APAQ ,当且仅当AP=AQ时取等号, 所以SAPQ= APAQsin sin = ,故当AP=AQ时, APQ的面积最大. (2)若AP=AQ=PQ=6米,则SAPQ= AP2= 62=9 米2,又SAPQ=2SADE,所以SADE= SAPQ= 米2,即 ADAEsin 60= ,即AD AE=18,在ADE中,由余弦定理得DE2=AD2+AE2-2ADAEcos 60=AD2+ AE2-182ADAE-18=18,当且仅当AD=AE时取等号,所以D,E分别在边 AP,AQ上,且满足AD=AE=3 米时,水管DE最短.,
