1、高考数学（浙江专用）,专题十三 数系的扩充与复数的引入,考点 复数的概念及运算,考点清单,考向基础1.形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,其中i是虚数单位,i2=-1.把复数a+ bi的形式叫做复数的代数形式.记作z=a+bi(a,bR).当且仅当 b=0 时,z为实数;当且仅当 a=b=0 时,z=0;当 b0 时,z叫做虚数; 当 a=0且b0 时,z叫做纯虚数.a与b分别叫做复数z=a+bi的实部和 虚部. 2.两个复数的实部和虚部分别相等这两个复数相等.即如果a,b,c,d R,那么a+bi=c+dia=c且b=d;a+bi=0 a=b=0 .,3. 4.复数的加、减、乘、除运算按以
2、下法则进行,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c, dR,c+di0): 加减法:(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i; 乘法:(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ; 除法: = = .,5.复数加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律,实数 的正整数指数幂运算也能推广到复数集中,即zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n= .(m,nN*) 6.(1)i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,其中kN*. (2)常用的i的性质:(1i)2=2i; =i; =-i;in+in+1+in+2+in+3=0(
3、nN*). 7.复数z=a+bi(a,bR)的模,也就是向量 的模,即有向线段 的长度, 计算公式:|a+bi|= . 当b=0时,复数a+bi就是实数.由上面的公式,有|a|= .这与以前关于实 数的绝对值及算术平方根的规定一致,可见,复数的模就是实数的绝对 值概念的扩充. 8.共轭复数及其运算性质,z=a+bi与 =a-bi(a,bR)互为共轭复数,且z+ =2a,z- =2bi,z =|z|2=| |2,运 算性质有 = , = , = (z20). 9.设z=a+bi(a,bR),则|z|= ,且有 (1)|z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|; (2)|z|=1z =1; (3
4、)|z|2=| |2=|z2|=| |=z .,考向突破,考向一 复数的概念,例1 (2018浙江宁波高三上学期期末,12)设i为虚数单位,则复数 的 虚部为 ,模为 .,解析 = = =3-2i,则其虚部为-2,模为 = .,答案 -2;,考向二 复数的运算,例2 (2018浙江嘉兴第一学期期末,2)若复数z=2-i,i为虚数单位,则(1+z) (1-z)= ( ) A.2+4i B.-2+4i C.-2-4i D.-4,解析 由z=2-i,得(1+z)(1-z)=(3-i)(-1+i)=-3+3i+i-i2=-2+4i,故选B.,答案 B,方法1 复数有关概念的解题方法 掌握一个复数为实数
5、、虚数、纯虚数的充要条件,两个复数互为共轭复 数的充要条件,两个复数相等的充要条件.明确复数问题实数化是解决 复数问题的最基本的思想方法.,方法技巧,例1 (2018浙江杭州第一学期教学质检,11)设复数z= (其中i为虚数 单位),则复数z的实部为 ,虚部为 .,解析 由已知可得z= = =2+i,故复数z的实部为2,虚部为 1.,答案 2;1,方法2 复数运算的解题方法 复数的代数形式运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项,乘法类 似多项式乘多项式,除法类似分母有理化(实数化),但复数运算有它独特 的技巧,如(1i)2=2i,i3=-i等.,例2 (2018浙江“七彩阳光”联盟期中,1)已知复数a+bi=i(1+i)(其中a,b R,i是虚数单位),则a+2b的值为 ( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2,解析 a+bi=-1+i, a=-1,b=1,a+2b=1.,答案 B,
