1、高考数学（浙江专用）,专题二 函数概念与基本初等函数 2.1 函数及其表示,考点一 函数的概念及其表示,考点清单,考向基础 1.函数与映射概念的比较,由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映 射,要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集. 2.函数的三要素:定义域、值域、对应关系. 3.函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与 x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值 域.,4.相等函数 如果两个函数的 定义域 相同,并且 对应关系 完全一致,则 这两个函数为相等函数. 5.函数的表示
2、方法 表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法. 6.若card(A)=m,card(B)=n,m,nN*,则映射f:AB的个数为nm.,考向一 已知函数的解析式,求定义域,考向突破,例1 (2018河南、河北重点高中联考,13)函数f(x)= +ln(x+4)的定 义域为 .,解析 4-4x0,且x+40,-4x1.故f(x)的定义域为(-4,1.,答案 (-4,1,考向二 求抽象函数的定义域,例2 若函数f(2x)的定义域是-1,1,则函数f(log2x)的定义域为 .,解析 由函数f(2x)的定义域是-1,1得-1x1, 所以 2x2,即函数f(x)的定义域为 . 令 log2x2,
3、解得 x4, 所以函数f(log2x)的定义域为 ,4.,答案 ,4,评析 求复合函数的定义域一般有三种类型:(1)已知f(x)的定义域,求f(g (x)的定义域;(2)已知f(g(x)的定义域,求f(x)的定义域;(3)已知f(g(x)的定 义域,求f(h(x)的定义域.本题属于第三种类型.总之,要紧紧抓住定义域 是对自变量x而言的.,考点二 分段函数及其应用,考向基础 1.如果函数在其定义域的不同子集上,对应关系不同或分别用几个 不同的式子来表示,那么这种表示形式的函数叫做分段函数. 2.分段函数是指不能用一个统一的解析式表示的函数,它是一个函数,而 不是几个函数,分段函数的连续与间断完全
4、由对应关系来确定. 3.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.,考向突破,考向 已知分段函数,求值,例 ( 2017浙江宁波期末,3)函数f(x)= 则f(f(2)= ( ) A.-2 B.-1 C. -2 D.0,解析 f(2)=2sin -1=0, f(f(2)=f(0)=-1.,答案 B,方法1 求函数定义域的方法 1.求具体函数y=f(x)的定义域,方法技巧,2.求复合函数的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,a,b,R,则函数f(g(x)的定义域应由 不等式ag(x)b解出. (2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,a,b,R,则函数f(x)的定义域为g
5、 (x)在xa,b时的值域. 3.在求定义域时应注意的问题 (1)对解析式化简变形必须是等价的,以免定义域发生变化. (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成 时,定义域是各个定义域的交集. (3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题或 几何问题有意义.,例1 (2018浙江镇海中学阶段测试,2)函数y= 的定义域是 ( ) A.(-1,3) B.(-1,3 C.(-1,0)(0,3) D.(-1,0)(0,3,解题导引,解析 由题可知 即 解得-1x3且x0,故选D.,答案 D,方法2 求函数解析式的方法 1.凑配法:由已知条件f(g(x)=F(x)
6、,可将F(x)凑配成关于g(x)的表达式,然 后以x替代g(x),便得f(x)的表达式. 2.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定 系数法. 3.换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的 取值范围. 4.解方程组法:已知关于f(x)与f 或f(x)与f(-x)的表达式,可根据已知条 件再构造出另一个等式,组成方程组,通过解方程组求出f(x). 5.赋值消元法:遇到抽象函数的恒等式时,一般可用赋值消元法,其思维 过程就是从一般到特殊.在使用赋值消元法时,要注意题中自变量的取,值范围,在赋值时不能超出自变量的取值范围.,例2 (1)已知f(
7、lg x+1)=x-1,求f(x); (2)已知二次函数f(x)满足3f(x+1)-2f(x-2)=x2+16x+9,求f(x); (3)已知定义域为(-,0)(0,+)的函数f(x)满足2f(x)+3f =8x+ ,求f (x).,解题导引 (1) (2) (3),解析 (1)令t=lg x+1(x0),则x=10t-1, f(t)=10t-1-1,f(x)=10x-1-1. (2)设f(x)=ax2+bx+c(a0),则3f(x+1)-2f(x-2)=3a(x+1)2+b(x+1)+c-2a(x-2) 2+b(x-2)+c=ax2+(14a+b)x-5a+7b+c=x2+16x+9. a=
8、1,14a+b=16,-5a+7b+c=9,解得a=1,b=2,c=0, f(x)=x2+2x. (3)以 代x,得2f +3f(x)= +7x,结合已知条件消去f ,可得f(x)=x+ (x0).,方法3 求函数值域的方法 1.基本函数法 基本函数的值域(或最值)可通过它的图象、性质直接求解. 2.配方法 对于形如y=ax2+bx+c(a0)或F(x)=af (x)2+bf(x)+c(a0)类的函数的值 域(或最值)问题,均可用配方法求解. 3.换元法 利用代数或三角换元,将所给函数转化成易求值域(或最值)的函数,形如 y= 的函数,令f(x)=t;形如y=ax+b (a,b,c,d均为常数
9、,ac0)的 函数,令 =t;含 结构的函数,可利用三角代换,令x=acos ,0,或令x=asin , . 4.基本不等式法 利用基本不等式:a+b2 (a0,b0)求函数值域(或最值)时,要注意条 件“一正、二定、三相等”,即利用a+b2 求某些函数值域(或最 值)时应满足三个条件:a0,b0;a+b(或ab)为定值;取等号的条件: a=b.这三个条件缺一不可. 5.函数的单调性法 由函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域(或 最值),例如 f(x)=ax+ (a0,b0),当利用基本不等式法,等号不能成立时, 可考虑用函数的单调性解题.,6.数形结合法 如果所给函数有
10、较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域(或最 值),如由 可联想点(x1,y1)与点(x2,y2)连线的斜率. 7.函数的有界性法 形如y= ,可用y表示出sin x,再根据-1sin x1解关于y的不等式,从 而求出y的取值范围. 8.判别式法 若函数y=f(x)可以化为一个系数含有y的关于x的方程a(y)x2+b(y)x+c=0, 则当a(y)0时,若xR,则0,得到关于y的不等式,解此不等式得到y的 取值范围,从而确定函数的值域(或最值),并检验a(y)=0时对应的x的值是,否在定义域内,以确定a(y)=0时y的值的取舍.,例3 (2018浙江名校协作体期初,9)函数y=x+ 的值域
11、为 ( ) A.1+ ,+) B.( ,+) C. ,+) D.(1,+),解析 解法一:因为函数y=x+ =x+ ,所以当x1时, 函数为增函数,所以y +1;当x1,故选D.,答案 D,方法4 分段函数的相关处理方法 1.求函数值,弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,从最内层逐 层往外计算,求“层层套”的函数值. 2.求最值,分别求出每段上的最值,然后比较大小取得最值. 3.解不等式,根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应解析式求 解. 4.求参数,“分段处理”,利用代入法列出各区间上的方程求解.,例4 (2018浙江“七彩阳光”联盟期中,10)已知函数f(x)= 函数g(x)=asin -2a+3(a0).若存在x1,x20,1,使得f (x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是 ( ) A. B. C. D.(0,2,解题导引,解析 当 0,所以函数g(x)(x0,1)的值域为 .依题意知,两函数的值域有公共部分,则 解得 a2.,答案 A,
