1、高考数学（浙江专用）,2.2 函数的基本性质,考点一 函数的单调性与最值,考点清单,考向基础 1.函数的单调性 (1)增函数、减函数,注意:(1)单调函数的定义有以下两种等价形式: x1,x2a,b,且x1x2, (i) 0f(x)在a,b上是增函数;0f(x)在a,b上是增函数; (x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. (2)单调区间只能用区间表示,当一个函数的增区间(或减区间)有多个 时,不能用“”连接,而应该用“和”或“,”连接.例如:y= 的单调减 区间为(-,0)和(0,+),但不能写成(-,0)(0,+).,(1)y=x+ 的单调增区间为(-,-1和1,
2、+);单调减区间为(-1,0)和(0,1). (2)y=ax+ (a0,b0)的单调增区间为 -,- 和 ;单调减区 间为 - ,0 和 . 特别提醒 求函数单调区间应注意以下几个问题: (1)函数的单调性是一个“区间概念”,有时一个函数在其定义域的几 个区间上都是增(减)函数,也不能说这个函数在其定义域上是增(减)函 数.例如:函数f(x)= 在(-,0)上是减函数,在(0,+)上也是减函数,但不 能说f(x)= 在(-,0)(0,+)上是减函数.因为当x1=-1,x2=1时,有f(x1)=-1 f(x2)=1,不满足减函数的定义.,2.一些重要函数的单调性,(2)函数的单调区间是函数定义域
3、的非空子集,求函数的单调区间必须 先确定函数的定义域,求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内 进行. (3)函数的单调区间可以是开的,也可以是闭的,还可以是半开半闭的,对 于闭区间上的连续函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也单 调.因此,只要函数在单调区间的端点连续且有意义,都可以使单调区间 包括端点.,3.函数的最值,考向突破,考向一 函数单调性的判断,例1 (2016北京,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( ) A.y= B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x,解析 选项A,y= = 的图象是将y=- 的图象向右平移1个单位 得到的,
4、故y= 在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B,y=cos x在(-1,0) 上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C,y=ln(x+1)的图象是 将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函 数,不符合题意;选项D符合题意.,答案 D,评析 本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题.,考向二 求函数的单调区间,例2 (2017课标全国文,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 ( ) A.(-,-2) B.(-,1) C.(1,+) D.(4,+),解析 本题主要考查复合函数的单调性. 由x2
5、-2x-80可得x4或x-2, 所以x(-,-2)(4,+), 令u=x2-2x-8, 则其在x(-,-2)上单调递减, 在x(4,+)上单调递增. 又因为y=ln u在u(0,+)上单调递增, 所以y=ln(x2-2x-8)在x(4,+)上单调递增.故选D.,答案 D 易错警示 本题易忽略定义域而错选C. 方法总结 复合函数的单调性符合同增异减的原则.,考点二 函数的奇偶性与周期性,考向基础 1.函数的奇偶性,2.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关 于y轴对称的区间上的单调性 相反 (填“相同”或“相反”). (2)在公共定义域内, (i)两个奇函
6、数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;,(ii)两个偶函数的和、积都是偶函数; (iii)一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数. (3)奇(偶)函数定义的等价形式:f(-x)=f(x)f(-x)f(x)=0 =1(f (x)0). (4)若函数y=f(x)是奇函数且0在定义域内,则f(0)=0. 3.周期函数的概念 设函数y=f(x),xD.如存在非零常数T,使得对任何xD都有f(x+T)=f(x), 则函数f(x)为周期函数,非零常数T为y=f(x)的一个周期. 4.关于函数周期性的几个常用结论 (1)若T为函数f(x)的一个周期,则kT(k为非零整数)也是函数f(x)的周期,这 就是说,一
7、个函数如果有周期,就有无数多个.,(2)当函数f(x)满足f(x+a)= (a0,且f(x)0)或f(x+a)=-f(x)(a0)时, 则f(x)是周期函数,2|a|是它的一个周期. (3)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a0)对称,则f(x)是周期 函数,2|a|是它的一个周期. (4)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a0)对称,则f(x)是周期 函数,4|a|是它的一个周期. (5)若函数y=f(x)恒满足f(x+a)=-f(x+b)(ab),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b| 是它的一个周期. (6)若函数y=f(x)恒满足f(x+a)= (ab),
8、则y=f(x)是周期函数,且2|a -b|是它的一个周期.,考向突破,考向一 函数奇偶性的判断,例1 若函数f(x)与函数f(g(x)的奇偶性相同,则称g(x)为f(x)的“同心函 数”,在下列给出的函数中,为函数f(x)= 的“同心函数”的是 ( ) A.g(x)=x+1 B.g(x)=2x C.g(x)=x2 D.g(x)=ln x,解析 易知函数f(x)= 是奇函数,当g(x)=x+1时, f(g(x)= ,x- 1,定义域不关于原点对称,不具有奇偶性.当g(x)=2x时, f(g(x)= =2x-,定义域为R,关于原点对称,令F(x)=f(g(x),则F(-x)=2-x- = -2x=
9、-F (x),为奇函数,所以函数f(x)与函数 f(g(x)都是奇函数,则g(x)为f(x)的“同 心函数”.当g(x)=x2时, f(g(x)= ,易知它为偶函数,与函数f(x)的奇偶 性不相同.当g(x)=ln x时, f(g(x)= ,定义域为(0,1)(1,+),不关于 原点对称,不具有奇偶性,故选B.,答案 B,考向二 周期性与奇偶性的综合问题,例2 (2017浙江名校协作体期初,4)下列四个函数中,以为周期,在 上单调递减且为偶函数的是 ( ) A.y=sin|x| B.y=cos|x| C.y=|tan x| D.y=-ln|sin x|,解析 y=sin|x|不是周期函数,故A
10、错;y=cos|x|=cos x是以2为周期的函数, 故B错;y=|tan x|在 上为增函数,故C错;y=-ln|sin x|是以为周期,在上单调递减且为偶函数的函数.故选D.,答案 D,方法1 判断函数单调性的方法 1.定义法:利用定义严格判断. 2.利用函数的运算性质判断.若f(x),g(x)为增函数,则在公共定义域内: (1)f(x)+g(x)为增函数; (2) 为减函数(f(x)0); (3) 为增函数(f(x)0); (4)f(x)g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0); (5)-f(x)为减函数. 3.利用复合函数关系判断单调性,法则是“同增异减”,即若两个简单函,方法技巧,
11、数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数 的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数. 4.利用图象判断函数单调性. 5.导数法: (1)若f(x)在某个区间内可导,当f (x)0时, f(x)为增函数;当f (x)0时, f(x) 为减函数; (2)若f(x)在某个区间内可导,当f(x)在该区间上单调递增时,f (x)0;当f (x)在该区间上单调递减时,f (x)0.,例1 讨论函数f(x)= (a0)在(-1,1)上的单调性.,解题导引,解析 解法一(定义法):任取x1,x2(-1,1),且x10,x1x2+10,( -1)( -1)0. 又a0,f(x1)-f(
12、x2)0, 故函数f(x)在(-1,1)上单调递减. 解法二(导数法):,f (x)= = = =- . a0,x(-1,1), f (x)0. f(x)在(-1,1)上单调递减.,方法2 判断函数奇偶性的方法 1.定义法,3.性质法 若f(x),g(x)在其公共定义域上具有奇偶性,则奇+奇=奇;奇奇=偶,偶+偶 =偶,偶偶=偶,奇偶=奇. 4.在判断函数的奇偶性时,要注意先判断函数的定义域是否关于原点对 称;在判断分段函数的奇偶性时,应根据x的取值范围分段讨论.,2.图象法,例2 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(1-x) ; (2)f(x)= (3)f(x)= ; (4)f(x)=
13、log2(x+ ).,解题导引,解析 (1)当且仅当 0时函数有意义,-1x0时,-x0, f(-x)=-x2-2x+1=-f(x), f(-x)=-f(x),函数f(x)是奇函数. (3)由题意知 -2x2且x0, f(x)的定义域为-2,0)(0,2,关于原点对称. f(x)= = ,又f(-x)= =- =-f(x), f(-x)=-f(x),函数f(x)是奇函数. (4)解法一:易知f(x)的定义域为R. f(-x)=log2(-x)+ =log2 =-log2(x+ )=-f(x),函数f(x)是奇函数. 解法二:易知f(x)的定义域为R. f(-x)+f(x)=log2(-x)+
14、+log2(x+ )=log21=0,f(-x)=-f(x), 函数f(x)为奇函数. 规律总结 (1)对于解析式比较复杂的函数,有时需要将函数化简后再 判断它的奇偶性,但一定要先考虑它的定义域;,(2)对于分段函数,必须分段判断它的奇偶性,只有在每一段上都满足奇 偶函数的定义时,才能下相应的结论; (3)当f(x)0时,奇偶函数定义中的判断式f(-x)=f(x)常被它的变式 =1替代.,方法3 函数周期性的解题方法 1.函数的周期性问题一般需先判断函数的周期,再利用周期求函数值. 2.函数的周期性与对称性往往同时出现,转化的技巧在于换元,有时也可 通过求特殊值发现函数的周期性.,例3 (20
15、18浙江“七彩阳光”联盟期中,16)已知函数f(x)是定义在R上 的奇函数,对任意的xR都有f(1+x)=f(1-x),且当x0,1时,f(x)=2x-1,则当 x-2,6时,方程f(x)=- 所有根之和为 .,解题导引,解析 由f(1+x)=f(1-x),得f(x+2)=f(-x),又函数f(x)是奇函数, 所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),从而有f(x+4)=f(x),即f(x)是以4为周期的函数. 又由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,从而其图象关于直线x=-1 也对称,由周期性知函数图象关于直线x=2k+1,kZ对称.由题意知函数f (x)在区间0,1是增函数,其值
16、域为0,1,此时方程f(x)=- 无解,由对称性 知函数f(x)在区间1,2是减函数,其值域为0,1,此时方程f(x)=- 也无解. 由函数图象关于原点对称知方程f(x)=- 在区间-2,-1和-1,0上各有一 根,由对称性知两根之和为-2.由周期性知方程f(x)=- 在区间2,3和3,4 上各有一根,由对称性知两根之和为6.由对称性知,在区间4,6上方程f (x)=- 无解,故在区间-2,6上共有4个根,其和为4.,答案 4,方法4 函数性质的综合应用 求解函数性质的综合问题时,一要紧扣奇偶性、单调性、周期性的定义 及有关的结论,二要充分利用各种性质之间的联系.,例4 (2016浙江镇海中学
17、测试,8)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(- x)=x2,且对任意的x1,x20,+)(其中x1x2)均有 (x1+x2).若 f(4m-2)-f(2m)-6m2+8m-20,则m的可能取值是 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,解题导引,解析 由f(x)+f(-x)=x2,得f(x)- x2+ =0,设g(x)=f(x)- x2,则g (-x)=-g(x),故g(x)为R上的奇函数. = =- (x1+x2)0,故g(x)为R上的增函数. g(4m-2)-g(2m)=f(4m-2)-f(2m)- (4m-2)2-(2m)2=f(4m-2)-f(2m)-6m2+8m-2 0, 即g(4m-2)g(2m),故4m-22m,所以m1.故选D.,答案 D,
