1、高考数学（浙江专用）,2.7 函数与方程,考点 函数的零点与方程的根,考点清单,考向基础 1.函数零点的定义 (1)对于函数y=f(x)(xD),我们把使 f(x)=0 成立的实数x叫做函数y =f(x)(xD)的零点. (2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有 零点 . 2.函数零点的判定 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)f(b)0 ,那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存在c,(a,b),使得 f(c)=0 ,这个 c 也就是f(x)=0的根.我们把这一结论 称为零点存在性定理.3.二次函
2、数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,【知识拓展】 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点分布 在研究二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点分布问题时,常借助二次函数的 图象来解,一般从四个方面分析:1)开口方向;2)对称轴位置;3)判别式;4) 端点函数值符号.,研究二次函数零点的分布,一般情况下需要从以下三个方面考虑: 1)一元二次方程根的判别式; 2)对应二次函数区间端点函数值的正负; 3)对应二次函数图象的对称轴x=- 与区间端点的位置关系. 设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实根,则x1,x2的分 布范围与一元二次方程系数之间的关系
3、如下表:,考向突破,考向一 函数零点所在区间的判断,例1 (2018湖北荆州第一次检测,6)函数f(x)= -log2x的零点所在区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(3,4) D.(4,+),解析 易知f(x)= -log2x在(0,+)上单调递减,f(3)= -log230,f(4)= - log24=- 0, f(x)在区间(3,4)上存在零点.,答案 C,考向二 函数零点的个数,例2 (2017浙江名校(杭州二中)定义函数f(x)=x,x0,+),这里x表 示不超过x的最大整数,则方程f(x)-log2x=0的根的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.无数个,解析
4、作出函数f(x)及函数y=log2x的图象(如图所示).由图可知,两函数 图象没有交点,故方程f(x)-log2x=0无解.故选A.,答案 A,考向三 已知函数零点求参数范围,例3 (2017湖北华师一附中期中,16)已知函数f(x)=(2x-3)ex+ 有三个零 点,则实数a的取值范围是 .,解析 由f(x)=(2x-3)ex+ =0可得a=x(3-2x)ex(x0).令y=x(3-2x)ex,则y=-(x -1)(2x+3)ex,当x1时,y0,函数单调递增,当x=- 时,函数取得极小值-9 ,当x=1时,函数取得 极大值e,f(x)=(2x-3)ex+ 有三个零点, -9 ae.,答案
5、-9 ae,方法1 判断函数零点所在区间和零点的个数的方法 1.判断函数零点所在区间的常用方法 (1)零点存在性定理:使用条件是函数图象是连续的. (2)数形结合法:画出函数的图象,用估算法确定区间. 2.判断函数零点个数的常用方法 (1)解方程法:令f(x)=0,如果有解,则有几个解就有几个零点. (2)函数零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在a,b上的图象是 连续的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性、奇 偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.,方法技巧,(3)数形结合法:转化为两个函数图象的交点的个数问题,有几个交点就 有几个不同的零点.,例1
6、(2018浙江新高考调研卷四(金华一中),8)用minm,n表示m,n中的 最小值,设函数f(x)=min (x0),则f(x)零点的个数不可能 为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,解题导引,解析 采用数形结合的思想,在直角坐标系中作出y=-ln x的图象,对参 数a分a0,- - 时, f(x)有2个零点;当a=- 时, f(x) 有1个零点;当a- 时, f(x)没有零点.故选D.,答案 D,方法2 函数零点的应用 已知函数有零点(方程有根),求参数的值或取值范围常用的方法和思路: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式 确定参数范围; (2)分离参数法
7、:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的 图象,然后利用数形结合法求解.,例2 (2018浙江镇海中学5月模拟,20)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.,解题导引,解析 (1)f (x)=(2ex+1)(aex-1), 当a0时, f (x)=(2ex+1)(aex-1)0时,令f (x)=(2ex+1)(aex-1)=0,则x=ln , 所以f(x)在 上为减函数,在 上为增函数.(2)要想f(x)有两个零点,只需满足f 0),则g(t)=1-t-ln t在(0,+)上为减函数, 又因为g(1)=0,所以t1,即 1, 所以a的取值范围为0a1.,
