1、高考数学（浙江专用）,专题五 平面向量与解三角形 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理,考点一 平面向量的线性运算及几何意义,考点清单,考向基础1.既有大小又有方向的量叫做向量.向量可以用有向线段来表示. 2.向量 的大小,也就是向量 的长度(或称模),记作| |. 3.长度为0的向量叫做零向量,记作0.长度为1个单位长度的向量叫做单 位向量. 4.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫做共线向量.规定:0与 任一向量平行. 5.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.,6.向量的加法法则:三角形法则和平行四边形法则. 7.向量加法的交换律:a+b=b+a. 向量加法的结合律:
2、(a+b)+c=a+(b+c). 8.与a长度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a.规定:0的相反 向量是0. 9.实数与非零向量a的乘积a是一个向量,它的长度是|a|的|倍,即|a|=| |a|.它的方向:当0时,与a同向;当0时,与a反向.显然,当=0时,a=0. 10.设a、b是任意向量,、是实数,则实数与向量的积适合以下运算律: (1)结合律:(a)=()a;(2)第一分配律:(+)a=a+a;(3)第二分配律:(a +b)=a+b.,11.向量共线的判断 (1)若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是有且只有一个实 数,使得b=a; (2)若a与b是两个非零向量,则它
3、们共线的充要条件是存在两个均不是 零的实数、,使得a+b=0.,考点二 平面向量基本定理及坐标表示,考向基础1.平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2,使a= 1e1+2e2 ,其中e1、e2是一组基底. 2.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=(x1x2,y1y2); (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1); (3)若a=(x,y),R,则a=(x,y). 3.向量平行的坐标表示 (1)如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0)
4、,则ab的充要条件为 x1y2-x2y1=0 ; (2)三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y,1)=0. 4.几个重要结论:如图,(1)若a、b为不共线向量,则a+b、a-b为以a、b为邻边的平行四边形的 对角线向量; (2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2); (3)G为ABC的重心 + + =0 G .,(4)若 + =2 ,则D为BC的中点,且D .反之也成立. (5)若O为原点,A,B,C为平面内三点,则A,B,C三点在一条直线上的充要条 件是 = + ,且+=1,R.,方法1
5、平面向量线性运算的解题方法 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的 加法、减法、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理,因此,在 求向量时要尽可能地转化到平行四边形或三角形中,利用三角形中位线 平行于第三边,且等于第三边的一半,相似三角形对应边成比例等平面 几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求 解.解题的基本步骤: (1)根据已知条件,正确选择基底;,方法技巧,(2)把条件和结论(或问题)中的所有向量用基底表示; (3)进行相关的运算.,例1 (2017浙江镇海中学模拟卷二,7)已知ABC的外心为O,且满足 BAC=60, =x +y (其中
6、x1),则x+4y的最大值为 ( ) A.2 B. C. D.5,解题导引,解析 设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.将 =x +y 两 边分别同时点乘 和 ,则 解得 所以x+4y = - - 4=2,故选A.,答案 A,方法2 平面向量的坐标运算的解题方法 向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示,在引入向量的坐标表示 后,向量的运算就完全可以转化为代数运算了,这样就可以将“形”和 “数”紧密地结合在一起.因此,很多几何问题的证明,特别是共线、共 点等较难问题的证明,就可以转化为较为简单的代数运算的论证. 解题的基本步骤: (1)建立适当的坐标系; (2)将参与运算的向量用坐标
7、表示出来; (3)利用加法、减法、数乘等运算法则转化为代数运算; (4)将代数运算结果转化为向量结果作答. 解题过程中注意数形结合思想和方程思想的运用.,例2 (2017浙江台州质量评估,16)已知不共线的平面向量a,b满足|a|=3,| b|=2,若向量c=a+b(,R),且+=1, = ,则= .,解题导引 导引一: 导引二:,解析 解法一:如图,设 =a, =b, =c.因为向量c=a+b(,R),且 +=1,所以A,B,C三点共线.由 = 知,cos=cos,所以OC为AOB的平分线,所以 = ,故 = ,即 - = ( - ),所以 = + , 因为c=a+b,所以= . 解法二:建立平面直角坐标系如图,设 =a, =b, =c,=, 则有b=(2cos ,2sin ),a=(3,0), c=a+b=(3+2cos ,2sin ), = , 化简得5(cos -1)=2(cos -1), 由于a,b不共线, cos -10, 从而5=2= .,答案,
