1、高考数学（浙江专用）,7.4 基本不等式及不等式的应用,考点一 基本不等式,考点清单,考向基础 1.几个重要不等式 (1)a2+b2 2ab (a,bR). (2) (a,bR+). (3) + 2 (a,b同号). (4)ab (a,bR). (5) (a,bR+).,(6)三角不等式 |a|-|b|ab|a|+|b|, |a1a2an|a1|+|a2|+|an|. (7)a2+b2+c2ab+ac+bc,当且仅当a=b=c时取等号. 2.利用算术平均数与几何平均数求函数的最值 (1)已知x、yR+,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值 , 是2 . (2)已知x、yR+,如
2、果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有 最大值 , 是 S2.,注意 (1)求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓 “一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为 定值,“三相等”是指等号成立. (2)连续使用基本不等式时,等号要同时成立.,考点二 不等式的综合应用 考向基础 1.常用的证明方法 (1)比较法 a.作差比较.如,a、b、m均为正数,且a .基本步骤:作差, 变形,定号. b.作商比较.基本步骤:作商,变形,与1比较大小. (2)分析法与综合法 令字母A、A1、A2、An、B分别表示一个不等式,其中B为已知不等 式,A为待证不等式. 若有AA1
3、A2AnB,综合法是由B前进式地推导A,分析法则是 由A倒退式地分析到B.用分析法时,必须步步充分.,(3)反证法 从否定结论出发,经过逻辑推理,得出矛盾,证实结论的否定是错误的,从 而肯定原结论正确. (4)放缩法 欲证AB,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,即BB1,B1 B2,BiA或AA1,A1A2,AiB,再利用传递性,达到证明目的. (5)三角代换法 如,若x2+y2=1,求证:|x2-2xy-y2| . 分析:由于x2+y2=1,故可设x=cos ,y=sin , 则|x2-2xy-y2|=|cos2-2sin cos -sin2| = .,(6)基本不等式法 使用时要
4、注意条件是否满足以及等号何时取得. (7)函数增减性法 如,若0u ,求证:u+ . 分析:基本不等式的基本条件不具备,即u= 时,u=1, 而0u ,不能取等号,可设f(u)=u+ ,u ,可以得到f(u)在 上为减函数, u+ f = . (8)几何法 如,已知a,bR,且a+b+1=0,求证:(a-2)2+(b-3)218. 分析:设直线x+y+1=0及直线外一点A(2,3),P(a,b)为直线上任意一点,|PA|,= ,点A到直线的距离d= =3 .由于|PA|d,所以 原命题成立. (9)判别式法 如,y= ,求证: y3.证明略. 2.几个重要放缩不等式 (1)ab0,am0,则
5、1, - - .,3.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)A在区间D上 恒成立f(x)minA(xD); 若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)A成立f(x)maxA(xD); 若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A在区间D上恰成立f(x)A的解集为D; 不等式f(x)B在区间D上恰成立f(x)B的解集为D.,方法 利用基本不等式求最值问题的方法 1.利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主 要有两种思路: (1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.
6、 (2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值. 2.有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添 项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式. 3.若一次应用基本不等式不能达到目的,则需多次应用基本不等式,但要 注意等号成立的条件必须要一致.,方法技巧,提醒 若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单调性求 解.,例 (2017浙江宁波二模(5月),17)若6x2+4y2+6xy=1,x,yR,则x2-y2的最大 值为 .,解题导引 导引一: 导引二: 导引三:,解析 解法一:设m=x+y,n=x-y,则问题转化为“已知4m2+mn+n2=1,求mn 的最大值”. 由基本不等式,知1=mn+4m2+n2mn+4|mn|,所以- mn ,当且仅当n= 2m, 即x=-3y时,取到最大值 . 解法二(齐次化处理):显然要使得目标函数取到最大值,x0. 令z=x2-y2= = ,设t= ,则z= ,则(4z+ 1)t2+6zt+6z-1=0对tR有解.,当z=- 时,t=- . 当z- 时,=36z2-4(4z+1)(6z-1)0,解得- z .当t=- =- 时取 到最大值. 解法三:1=6x2+4y2+6 y6x2+4y2-6 =5x2-5y2,所以x2-y2,当且仅当x=-3y时取等号.,答案,
