1、高考数学（浙江专用）,7.5 绝对值不等式,考点 含绝对值不等式的解法,考点清单,考向基础 1.含绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集,(2)|ax+b|c和|ax+b|c型不等式的解法 |ax+b|c-cax+bc; |ax+b|cax+bc或ax+b-c. 2.绝对值三角不等式 (1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. (2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0 时,等号成立. (3)推论1:|a|-|b|a+b|. (4)推论2:|a|-|b|a-b|.,考向突破
2、,考向一 含绝对值不等式的解法,例1 (2017课标全国,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.,解析 (1)f(x)= 当x2时,由f(x)1得x2. 所以f(x)1的解集为x|x1. (2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x. |x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x| =- + ,且当x= 时,|x+1|-|x-2|-x2+x= . 故m的取值范围为 .,考向二 绝对值三角不等式的应用,例2 (2017浙江温州十校期末联考,
3、15)对于任意实数a和b(b0),不等 式|a+b|+|a-b|b|(|x-1|+|x-2|)恒成立,则实数x的取值范围是 .,解析 原不等式可化为 |x-1|+|x-2|恒成立,令m=.由|a+b|+|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|,得m2,当且仅当(a+b)(a -b)0,即|a|b|时,取等号.因此有|x-1|+|x-2|2,解得 x .,答案 x,评析 本题考查绝对值不等式的概念和解法,分离变量法,不等式恒成 立问题,考查化归与转化思想和分类讨论思想.,方法 形如|x-a|+|x-b|c(或c,c0)型的不等式的解法 形如|x-a|+|x-b|c(或c,c0)型的不等式主要
4、有三种解法: (1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(-,a, (a,b,(b,+)(此处设a0)的几何意义:数轴上到点x1=a和x2=b的 距离之和大于或等于c的全体实数. (3)图象法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图象,结合图象求解.,方法技巧,例 (2018课标全国文,23,10分)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.,解析 (1)解法一:当a=1时, f(x)=|x+1|-|x-1|, 即f(x)= 故不等式f(x)1的解集为 . 解法二:画出数轴,根据绝对值的几何意义知,|x+1|-|x-1|表示数轴上的动 点x到点-1、点1的距离之差,由图可得,当x= 时,距离之差恰好等于1,且 x越大,距离之差越大,故不等式f(x)1的解集为 .解法三:作出函数图象如图.当f(x)=1时,x= ,数形结合可得,不等式f(x)1,的解集为 .(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为 , 所以 1,故0a2.,综上,a的取值范围为(0,2.,
