1、高考数学（浙江专用）,专题九 直线和圆的方程 9.1 直线方程和两直线间的位置关系,考点一 直线及其方程,考点清单,考向基础1.如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,且这条直 线上点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方 程,这条直线叫做这个方程的直线. 2.当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之 间所成的角叫做直线l的倾斜角.它的取值范围为 0,) . 3.倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,直 线的斜率常用k表示,即k=tan .由正切函数的单调性可知,倾斜角不同的 直线,其斜率也不同.,4.经过两点P1(x
2、1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式为 k= (x1x2).直线上的向量 及与它同向的向量都称为直线的方向向量.直线P1 P2的方向向量 的坐标是 (x2-x1,y2-y1) . 5.直线方程的几种基本形式 (1)点斜式:y-y1=k(x-x1),注意:斜率k是存在的. (2)斜截式:y=kx+b(k存在),其中b是直线l在y轴上的截距. (3)两点式: = (x1x2且y1y2),当方程变形为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1) (y-y1)=0时,对于一切情况都成立. (4)截距式: + =1(其中ab0),a是直线l在x轴上的截距,b是直线l在y轴 上的截距. (5)一般
3、式:Ax+By+C=0(其中A与B不同时为0).,6.直线系方程 符合特定条件的某些直线构成一个直线系,常见的直线系方程有如下几 种: (1)过定点M(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(这个直线系方程中不包括 直线x=x0); (2)和直线Ax+By+C=0(A2+B20)平行的直线系方程为Ax+By+C=0(C C); (3)和直线Ax+By+C=0(A2+B20)垂直的直线系方程为Bx-Ay+C=0; (4)经过两相交直线A1x+B1y+C1=0( + 0)和A2x+B2y+C2=0( + 0) 的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(这个
4、直线系方程 中不包括直线A2x+B2y+C2=0).,考点二 两直线间的位置关系,考向基础 1.平行与垂直 (1)当直线l1和l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时,直线l1l2的充要 条件是 k1=k2且b1b2 . (2)如果两条直线的斜率分别为k1和k2,那么这两条直线垂直的充要条件 是 k1k2=-1 . (3)设直线l1和l2的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0( + 0),l2:A2x+B2y+C2= 0( + 0),则l1的一个方向向量为n1=(B1,-A1),l2的一个方向向量为n2= (B2,-A2),l1的法向量为n1=(A1,B1),l2的
5、法向量为n2=(A2,B2).如果l1 l2,则n1 n2,即有 A1B2-A2B1=0 ;如果l1l2,则n1n2,即有 A1A2+B1B2=0 .反之也成立,故A1B2-A2B1=0是直线l1l2的必要非充分条件,A1A2+B1B2=,0是直线l1l2的充要条件. 2.点到直线的距离 (1)已知点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0(A2+B20),则点P 到l的距离d= . (2)已知两条平行直线l1:Ax+By+C=0,l2:Ax+By+D=0(A2+B20,DC),则l1 与l2的距离d= .,方法 直线方程的求法 1.直接法:直接找到确定直线的两个要素(斜率和
6、截距、斜率和一个 点、两个点、两个截距等),直接写出对应的直线方程(斜截式、点斜 式、两点式、截距式). 2.待定系数法:首先设出直线的方程,再把对应的已知条件代入求出系 数,得到方程.(此种方法要特别注意各种方程形式的适用条件,防止漏掉 其中一种情形),方法技巧,例 直线l被两直线l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好是 坐标原点,求直线l的方程.,解析 解法一:依题意知直线l过原点,当直线l的斜率不存在时,直线l的 方程为x=0,此时两交点坐标分别为(0,-6), ,此时线段的中点不是 原点. 故直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx ,分别与两直线 方程
7、联立,解得交点坐标分别为A ,B ,则有-+ =0, 解得k=- ,故直线l的方程为y=- x. 解法二:设直线l与直线l1的交点为A(x1,-4x1-6),与直线l2的交点为B, 由线段AB的中点为原点得点B的坐标为(-x1,4x1+6).,把点B的坐标代入直线l2的方程中,得x1=- ,故点A的坐标为 , 依题意知直线l过原点,由点斜式得直线l的方程为y=- x. 解法三:设直线l与直线l1的交点为A(x1,y1),与直线l2的交点为B, 由线段AB的中点为原点得点B的坐标为(-x1,-y1). 把点A,B的坐标分别代入两直线方程中,得 两式相加得x1+6y1=0,此时直线x+6y=0过点A,且过原点. 故直线l的方程为x+6y=0.,
