1、3.1 变化率与导数、导数的计算,教材研读,1.导数的概念,2.基本初等函数的导数公式,3.导数的运算法则,考点突破,考点一 导数计算,考点二 导数的几何意义,1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处导数的定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f (x0)或y ,即f (x0)= =,教材研读,. (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的 切线的斜率 .相应地,切线方程为 y-y0=f (x0)(x-x0) . (3)函数f(x)的导函数 称函数f (x
2、)= 为f(x)的导函数.,2.基本初等函数的导数公式,3.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)= f (x)g(x) ; (2)f(x)g(x)= f (x)g(x)+f(x)g(x) ; (3) = (g(x)0) .,4.复合函数的导数 复合函数y=fg(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx= yuux ,即y对x的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的 乘积.,1.一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么 物体在3秒末的瞬时速度是 ( C ) A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.8米/秒,2.曲线y=x3-3
3、x2+1在点(1,-1)处的切线方程为 ( B ) A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-3,3.若函数f(x)=exsin x,则此函数图象在点(4, f(4)处的切线的倾斜角为 ( C ) A. B.0 C.钝角 D.锐角,4.已知函数 f(x)的导函数为f (x),且满足关系式f(x)=x2+3xf (2)+ln x,则f (2)的值为 ( D ) A.2 B.-2 C. D.-,5.已知函数y=f(x)及其导函数y=f (x)的图象如图所示,则曲线y=f(x)在点P (2,0)处的切线方程是 x-y-2=0 .,导数计算 典例1 求下列函数的导数: (
4、1)y= ; (2)y=sin4 +cos4 ; (3)y= .,考点突破,解析 (1)y= = + = + , y= - = - . (2)y=sin4 +cos4 = -2sin2 cos2 =1- sin2 = + cos x, y=- sin x. (3)设y= ,u=sin x, 则yx=yuux=- cos x=- (sin x cos x.,方法指导 导数运算的原则与方法 (1)原则:先化简解析式,再求导. (2)方法:,提醒 求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简, 然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商 的形式时,如能化简则化简,这样
5、可减少运算量.,(1)y=(3x3-4x)(2x+1); (2)y=-sin ; (3)y= .,1-1 求下列各函数的导数:,y=24x3+9x2-16x-4. (2)y=-sin =-sin = sin x, y= = (sin x)= cos x. (3)y= = = .,解析 (1)y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,典例2 函数f(x)= x2的图象在点(2, f(2)处的切线方程为 y=x-1 .,导数的几何意义 命题方向一 求切线方程,解析 由f(x)= x2,得f(2)=1, f (x)= x,故f (2)=1,所以函数f(x)= x2的图象 在点(
6、2, f(2)处的切线的斜率为1,故所求切线方程为y=x-1.,探究 求函数f(x)= x2的图象过点 的切线的方程.,解析 设函数f(x)的图象过点 的切线与函数图象的切点坐标为, 由f(x)= x2得f (x)= x,故f (x0)= x0, 所以函数f(x)的图象过点 的切线方程为y- = x0(x-x0), 将 代入上述方程并整理得 -8x0+7=0, 解得x0=1或x0=7.,所以函数f(x)的图象过点 的切线方程为y= x- 或y= x- .,方法指导 若已知曲线过点P(x0,y0),求曲线过点P(x0,y0)的切线,则需分点P(x0,y0)是切 点和不是切点两种情况求解. (1)
7、当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f (x0)(x-x0). (2)当点P(x0,y0)不是切点时可按以下步骤解题: 第一步:设切点为P(x1, f(x1); 第二步:写出过P(x1, f(x1)的切线方程y-f(x1)=f (x1)(x-x1); 第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程,求出x1;,第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f (x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线 方程.,典例3 (1)已知曲线y= -3ln x的一条切线的斜率为- ,则切点的横坐标 为 ( B ) A.3 B.2 C.1 D. (2)曲线y=x- (x0)在点P(x0
8、,y0)处的切线分别与x轴、y轴交于点A、B,O是坐标原点,若OAB的面积为 ,则点P的坐标为 .,命题方向二 求切点的坐标,解析 (1)y= x- ,设切点的横坐标为x0, 则由题意得 x0- =- , 解得x0=-3或x0=2, 由题意易知x00,所以x0=2. (2)由题意可得y0=x0- ,x00,y=1+ , 曲线在点P处的切线的斜率为1+ ,则曲线在点P处的切线的方程为y-x0+ = (x-x0), 令x=0得y=- ;令y=0得x= , OAB的面积为 ,即 = , 解得x0= (舍负),进而得y0= . 故答案为 .,易错警示 注意所求切点的横坐标的取值范围.,典例4 已知函数
9、f(x)=aln x+ x2+bx(a,bR)在x1=2,x2=3处取得极值. (1)求a,b的值; (2)求曲线f(x)在点P(1, f(1)处的切线方程.,命题方向三 求参数的值,解析 (1)f (x)= +x+b= ,令f (x)= =0, 据题意,知2,3是关于x的方程x2+bx+a=0的两个根, 所以 ,(2)由(1)得f(x)=6ln x+ x2-5x,则f(1)= -5=- ,得P .因为f (x)=,所以f (1)=2, 所以所求切线方程为y+ =2(x-1),即y=2x- .,典例5 (2016课标全国理,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切 线,也是曲线
10、y=ln(x+1)的切线,则b= 1-ln 2 .,两条曲线的公切线,解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y 1),B(x2,y2),由y=ln x+2得y= ,由y=ln(x+1)得y= ,k= = ,x1= ,x 2= -1,y1=-ln k+2,y2=-ln k,即A ,B ,A、B在直线 y=kx+b上, ,规律方法 求两条曲线的公切线的方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求 解. (2)利用公切线得出关系式. 设公切线l在y=f(x)上的切点为P1(x1,y1),在y=g(x)上的切点为P2(x2,y2),则f (x1)=g(x2)= .,3-1 曲线f(x)=ex在x=0处的切线与曲线g(x)=ax2-a(a0)相切,则过曲线g (x)的切点且与该切线垂直的直线方程为 x+y+1=0 .,解析 曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=x+1. 设其与曲线g(x)=ax2-a(a0)相切于点(x0,a -a), 则g(x0)=2ax0=1,且a -a=x0+1. 解得x0=-1,a=- ,故切点坐标为(-1,0). 所以过切点且与该切线垂直的直线方程为 y=-1(x+1),即x+y+1=0.,
