1、3.3 导数与函数极值和最值,教材研读,1.函数的极值与导数,2.函数的最值与导数,考点突破,考点一 运用导数解决函数的极值问题,考点二 运用导数解决函数的最值问题,考点三 函数极值和最值综合问题,1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 都小 , f (a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f (x)0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值,教材研读,都大 , f (b)=0,
2、而且在点x=b附近的左侧 f (x)0 ,右侧 f (x) 0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 注: 极大值 和 极小值 统称为极值.,2.函数的最值与导数 一般地,求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 ; (2)将函数y=f(x)的各极值与 端点处 的函数值f(a)、 f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 注:如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它 必有最大值和最小值. 提醒 极值与最值的区别与联系,(1)区别,续表,(
3、2)联系 当连续函数在开区间内的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数 的最值点; 极值有可能是最值,最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值.,1.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e上的最大值为 ( B ) A.1-e B.-1 C.-e D.0,2.设函数f(x)= +ln x,则 ( D ) A.x= 为f(x)的极大值点 B.x= 为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点,3.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= ( D ) A.-4 B.-2 C.4 D.2,4.函数y=xex的最小值是 - .,5.函数y=xln x
4、有极 小 值,为 - .,运用导数解决函数的极值问题 命题方向一 已知函数求极值(点) 典例1 已知函数f(x)=ln x-ax(aR). (1)当a= 时,求f(x)的极值; (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.,考点突破,解析 (1)当a= 时, f(x)=ln x- x, 函数的定义域为(0,+),且f (x)= - = , 令f (x)=0,得x=2, 于是当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,故f(x)在定义域上的极大值为f(2), f(2)=ln 2-1,无极小值. (2)由(1)知,函数的定义域为(0,+), f (x)= -a= (x0), 当a0时
5、, f (x)0在(0,+)上恒成立, 即函数在(0,+)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点; 当a0时, 若x ,则f (x)0,若x ,则f (x)0时,函数在x= 处有 一个极大值点.,易错警示 已知函数求极值(点)需注意两点 (1)先求定义域; (2)导数为零的点不一定是极值点,所以求出导数为零的点后,还要判断 该点两侧导数值的符号. 命题方向二 已知函数的极值(点)情况,求参数的值(取值范围),典例2 (2018河北石家庄一模)已知函数f(x)= . (1)求函数f(x)的单调区间; (2)设g(x)=xf(x)-ax+1,若g(x)在(0,+)上存在极值点,求实数a的取值范 围
6、.,解析 (1)f(x)= ,x(-,0)(0,+), 则f (x)= . 当f (x)=0时,x=1. f (x)与f(x)随x的变化情况如下表:,故f(x)的增区间为(1,+),减区间为(-,0)和(0,1). (2)易得g(x)=ex-ax+1,g(x)=ex-a, 当a1时,在(0,+)上,g(x)=ex-a0,即g(x)在(0,+)上递增,此时g(x)在(0, +)上无极值点. 当a1时,令g(x)=ex-a=0,得x=ln a; 令g(x)=ex-a0,得x(ln a,+); 令g(x)=ex-a0,结合x(0,+),得x(0,ln a). 故g(x)在(0,ln a)上递减,在(
7、ln a,+)上递增,g(x)在(0,+)上有极小值无极大值,且极小值点为x=ln a. 故实数a的取值范围是a1.,方法技巧 已知函数极值点和极值求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值列方程组,利用待定系数法求解. (2)验证:因为一点处的导数等于零不是此点为极值点的充要条件,所以 求解后需对所求结果进行验证.,1-1 (2017课标全国理,11,5分)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值 点,则f(x)的极小值为 ( A ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1,解析 由题意可得f (x)=ex-1x2+(a+2)x+a-1.x=-2是函数
8、f(x)=(x2+ax-1) ex-1的极值点,f (-2)=0,a=-1,f(x)=(x2-x-1)ex-1, f (x)=ex-1(x2+x-2)=ex-1(x- 1)(x+2),x(-,-2),(1,+)时, f (x)0, f(x)单调递增;x(-2,1)时, f (x) 0, f(x)单调递减.f(x)极小值=f(1)=-1.故选A.,典例3 已知函数f(x)= -ln x. (1)求f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)在 上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数).,运用导数解决函数的最值问题,解析 (1)f(x)= -ln x=1- -ln x, 其定义域为(0,+).
9、f (x)= - = , f (x)001, f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减. (2)由(1)得f(x)在 上单调递增,在1,e上单调递减, f(x)在 上的最大值为f(1), f(1)=1- -ln 1=0.,又f =1-e-ln =2-e, f(e)=1- -ln e=- , 且f f(e), f(x)在 上的最小值为f , f =2-e. f(x)在 上的最大值为0,最小值为2-e.,探究 若本例中“f(x)=ln x- x2”,则函数f(x)在 上的最大值是多 少?,解析 由f(x)=ln x- x2, 得f (x)= -x= , 当 xe时, 令f (x)0,
10、得 x1;令f (x)0,得1xe, 所以f(x)在 上单调递增,在1,e上单调递减,所以f(x)max=f(1)=- .,方法技巧 求函数f(x)在区间a,b上最值的方法 (1)若函数f(x)在区间a,b上单调,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小 值. (2)若函数f(x)在闭区间a,b上有极值,要先求出a,b上的极值,再与f(a), f (b)比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值,可列表求解. (3)若函数f(x)在闭区间a,b上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大 (小)值点.,2-1 (2018云南统一检测)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)
11、在点(0, f(0)处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 (1)因为f(x)=excos x-x, 所以f (x)=ex(cos x-sin x)-1, 所以f (0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1, 则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x. 当x 时,h(x)0, 所以h(x)在区间 上单调递减.,所以对任意x 有h(x)h(0)=0,即f (x)0. 所以函数f(x)在区间 上单调递减. 因此f(
12、x)在区间 上的最大值为f(0)=1,最小值为f =- .,典例4 已知常数a0, f(x)=aln x+2x. (1)当a=-4时,求f(x)的极值; (2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.,函数极值和最值综合问题,解析 (1)由已知得f(x)的定义域为(0,+), f (x)= +2= .当a=-4时, f(x)= . 当02时, f (x)0, f(x)单调递增.,所以f(x)只有极小值,且在x=2时, f(x)取得极小值,极小值为4-4ln 2.,所以当a=-4时, f(x)有极小值4-4ln 2,没有极大值. (2)因为f (x)= , 所以当a0,x(0,+)时
13、, f (x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增,没有最 小值; 当a0,得x- ,所以f(x)在 上单调递增;由f (x)0,得0 x- ,所以f(x)在 上单调递减.所以当a0时, f(x)的最小值为f,根据题意得f =aln +2 -a, 即aln(-a)-ln 20. 因为a0,所以ln(-a)-ln 20,解得-2a0, 所以实数a的取值范围是-2,0).,规律方法 (1)利用导数研究函数极值、最值的综合问题的一般思路 若求极值,则先求方程f (x)=0的根,再检查f (x)在方程根的左右函数值 的符号. 若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f (x)=0根的大小或存 在情
14、况来求解. 求函数f(x)在闭区间a,b上的最值时,在得到极值的基础上,再与区间 端点的函数值f(a), f(b)进行比较,得到函数的最值.,(2)已知最值求参数的范围 主要采取分类讨论的思想,将导函数的零点与所给区间进行比较,利用 导数得到函数在给定区间内的单调性,从而求其最值,判断所求的最值 与已知条件是否相符,从而得到参数的取值范围.,3-1 已知函数f(x)= (1)求f(x)在区间(-,1)上的极小值和极大值点; (2)求f(x)在区间-1,e(e为自然对数的底数)上的最大值.,解析 (1)当x1时, f (x)=-3x2+2x=-x(3x-2), 令f (x)=0,解得x=0或x= , 当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,所以当x=0时,函数f(x)取得极小值f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x= . (2)当-1x0时, f(x)在1,e上单调递增, f(x)max=f(e)=a,所以当a2时, f(x)在-1,e上的最大值为a; 当a2时, f(x)在-1,e上的最大值为2.,
