1、 4.4 简单的三角恒等变换,教材研读,一、半角公式(不要求记忆),二、简单的三角恒等变换,考点突破,考点一 三角函数式的化简,考点二 三角函数的求值,考点三 三角变换的综合应用,一、半角公式(不要求记忆) 1.用cos 表示sin2 ,cos2 ,tan2 . sin2 = ;cos2 = ;tan2 = .,教材研读,2.用cos 表示sin ,cos ,tan . sin = ;cos = ; tan = .,1.和、差公式的应用技巧 (1)直接应用 例:sin(+)=sin(+)+=sin(+)cos +cos(+)sin . (2)逆用 例:cos 20cos 25-cos 70co
2、s 65=cos 20cos 25-sin 20sin 25=cos 45= . (3)拆分与组合的应用,二、简单的三角恒等变换,例:若cos = ,cos(+)=- ,且、都是锐角,求cos .利用=(+)-进 行求解.,2.倍角与半角关系 (1)把写成2 ,则,sin =2sin cos ,cos =cos2 -sin2 = 1-2sin2 = 2cos2 -1 , tan = . (2)由上面式子得1+cos =2cos2 ,1-cos =2sin2 ,这两个式子从左到右,起升幂作用,从右到左起降幂作用. (3)将 、 的根号化掉,得 =, = .,3.辅助角公式 asin x+bcos
3、 x= sin(x+) 其中sin = ,cos = ,tan = ,ab0 .,4.几个常用结论 (1)1+sin 2=(sin +cos )2; (2)1-sin 2=(sin -cos )2; (3)(sin +cos )2+(sin -cos )2=2.,1.化简 的结果为 ( A ) A.sin 2 B.cos 2 C.sin D.cos ,解析 4sin2 tan =4cos2 tan =4cos sin =2sin =2cos 2, = = =sin 2.,2.若-2- ,则 的值是 ( D ) A.sin B.cos C.-sin D.-cos,3. 的结果为 ( B ) A.
4、tan B.tan 2 C. D.,4.(2018杭州高三模拟)函数f(x)=3sin cos +4cos2 (xR)的最大值等于( B ) A.5 B. C. D.2,5.已知cos(+)= ,cos(-)= ,则tan tan 的值为 - .,三角函数式的化简 典例1 已知270360,则三角函数式 的化简结果 是 ( D ) A.sin B.-sin C.cos D.-cos,考点突破,解析 270360, = = = ,由于135 180,故cos 0,所以化简结果为-cos .,方法指导 三角函数式化简的“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角
5、进 行合理的拆分,从而正确使用公式. (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如 “遇到分式要通分”等.,1-1 (2019绍兴一中月考)已知tan = ,且- 0,则 =( A ) A.- B.- C.- D.,解析 = =2 sin , 由tan = ,得tan =tan = =- ,所以3 sin =-cos , 结合sin2+cos2=1求得sin = . 又- 0,所以sin =- ,故 =- .,1-2 = tan .,解析 原式= = = = = =tan .,典例2 (1)(2016课
6、标全国理,9,5分)若cos = ,则sin 2= ( D ) A. B. C.- D.- (2)若cos =- ,是第三象限的角,则 = ( A ) A.- B. C.2 D.-2,三角函数的求值 命题方向一 给值求值,解析 (1)解法一:sin 2=cos =cos =2cos2 -1=2-1=- .故选D. 解法二:cos = (cos +sin )= cos +sin = 1+sin 2=,sin 2=- .故选D. (2)由题意得sin =- , = = = = = =- ,故选A.,方法技巧 给值求值是指已知一个角的某个三角函数值,求与该角相关的其他三角 函数值的问题,基本方法是通
7、过三角函数的变换,把求解目标用已知条 件表达出来.,典例3 求值:(1)sin220+cos280+ sin 20cos 80; (2)tan 20+4cos 70.,命题方向二 给角求值,解析 (1)sin220+cos280+ sin 20cos 80 = (1-cos 40)+ (1+cos 160)+ sin 20cos 80 =1- cos 40+ cos 160+ sin 20cos(60+20) =1- cos 40+ (cos 120cos 40-sin 120sin 40)+ sin 20(cos 60cos 2 0-sin 60sin 20) =1- cos 40- cos
8、 40- sin 40+ sin 40- sin220 =1- cos 40- (1-cos 40)= .,(2)tan 20+4cos 70= +4sin 20 = = = = = = =,= = .,方法指导 给角求值一般所给出的角都是非特殊角,从表面看难度较大,但非特殊 角与特殊角总有一定关系.解题时,要利用观察得到的关系,利用特殊角 的三角函数求得结果.,典例4 已知,为锐角,sin = ,sin = ,则+2= .,命题方向三 给值求角,解析 ,为锐角,sin = ,sin = ,cos = ,cos = ,sin 2=2sin cos = ,cos 2=cos2-sin2= ,co
9、s(+2)= - =,又sin = ,sin = ,0 且0 ,0+2 ,+2 = ,故答案为 .,方法技巧 通过求角的某个三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则: (1)已知正切函数值,则选正切函数; (2)已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数,若角的范围是 ,则 选正、余弦皆可;若角的范围是(0,),则选余弦较好;若角的范围是 ,则选正弦较好.,2-1 = -4 .,解析 原式= = = = = =-4 .,2-2 已知,(0,),且tan =2,cos =- . (1)求cos 2的值; (2)求2-的值.,解析 (1)因为tan =2,所以 =2,即sin =2cos . 又si
10、n2+cos2=1,所以sin2= ,cos2= . 所以cos 2=cos2-sin2=- . (2)因为(0,),且tan =2,所以 . 又cos 2=- 0,故2 ,所以sin 2= . 由cos =- ,(0,)得 ,sin = .,所以sin(2-)=sin 2cos -cos 2sin = - =- . 又2- ,所以2-=- .,典例5 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=5, + -=0,则a+c= ( B ) A.6 B.7 C.8 D.9,三角变换的综合应用,解析 由 = + ,得 = + = = ,即5sin sin =sin . 又5sin sin
11、 =sin =cos =cos cos -sin sin ,即cos cos =6 sin sin . ,由b=5及正弦定理得a+c= (sin A+sin C) = = 2sin cos = cos cos = ,将代入上式得a+c= 7sin sin =7, 故选B.,方法指导 三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过 变换把函数化为y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式再研究性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.,3-1 在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知c=1,C= . (1)若a= ,求b的值; (2)求cos Acos B的取值范围.,解析 (1)解法一:由c2=a2+b2-2abcos C,得1=3+b2-2 b ,即b2-3b+2=0,所以b=1或b=2. 解法二:由 = 得sin A= , A= 或A= . 当A= 时,B= ,b=2;当A= 时,B= ,b=1. 综上,b=1或b=2. (2)cos Acos B=cos Acos,=cos A =- cos2A+ sin Acos A=- - cos 2A+ sin 2A =- + sin , 0A ,- 2A- ,- sin 1, 故cos Acos B的取值范围是 .,
