1、第一节 导数的概念及运算,1.导数的概念,2.基本初等函数的导数公式,3.导数的运算法则,4.复合函数的导数,教材研读,考点一 导数的计算,考点二 导数的几何意义,考点突破,1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处导数的定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f (x0)或y ,即f (x0)= = .,教材研读,(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处 的 切线的斜率 .相应地,切线方程为 y-y0=f (x0)(x-x0) . (3)函数f(x)的导函
2、数 称函数f (x)= 为f(x)的导函数. 点拨 f (x)与f(x0)的区别与联系: f (x)是一个函数, f(x0)是函数 f (x)在x0处的函数值(常数),所以f(x0)=0.,2.基本初等函数的导数公式,3.导数的运算法则 (1)f(x)g(x)= f (x)g(x) ; (2)f(x)g(x)= f (x)g(x)+f(x)g(x) ; (3) = (g(x)0).,4.复合函数的导数 复合函数y=fg(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx= yuux ,即y对x的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的 乘积.,1.判断正误(正确的打“”,错误的
3、打“”) (1)f (x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. ( ) (2)f (x0)与f(x0)表示的意义相同. ( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( ) (4)函数f(x)=sin(-x)的导数是f (x)=cos x. ( ),2.已知f(x)=xln x,若f (x0)=2,则x0等于 ( B ) A.e2 B.e C. D.ln 2,答案 B f(x)的定义域为(0,+), f (x)=ln x+1,由f (x0)=2,得ln x0+1=2, 解得x0=e.,3.函数f(x)=exln x在点(1, f(1)处的切线方程是 ( C ) A.y
4、=2e(x-1) B.y=ex-1 C.y=e(x-1) D.y=x-e,答案 C f(1)=0,f (x)=ex ,f (1)=e,所求切线方程是y=e(x- 1).故选C.,4.(2018课标全国,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.,答案 y=2x,解析 本题主要考查导数的几何意义. 因为y= ,所以y|x=0=2,又(0,0)为切点, 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.,5.设f (x)为函数f(x)的导数, f(x)=x2-2x+f (1),则f(-1)= .,答案 3,解析 由条件知f (x)=2x-2,则f (1)=0f(x)=x2-2x
5、,故f(-1)=1+2=3.,典例1 求下列函数的导数. (1)y=ln x+ ; (2)y= ; (3)y=x-sin cos ; (4)y=ln .,导数的计算,考点突破,解析 (1)y= =(ln x)+ = - . (2)y= = =- . (3)y=x-sin cos =x- sin x,y=1- cos x. (4)y=ln = ln(1+x2), y= (1+x2)= 2x= .,方法技巧 1.求函数导数的一般原则:(1)遇到连乘的形式,先化为多项式形式,再求 导;(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂分式,先 将分式化简,再求导.,2.求复合函数的导数的一
6、般步骤:(1)分清复合关系,适当选定中间变量, 正确分解关系;(2)分层求导,弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求 导数.,1-1 求下列函数的导数: (1)y=xnex;(2)y= ;(3)y=exln x; (4)y=xsin cos .,解析 (1)y=nxn-1ex+xnex=xn-1ex(n+x). (2)y= =- . (3)y=exln x+ex =ex . (4)y=xsin cos = xsin(4x+)=- xsin 4x, y=- sin 4x- x4cos 4x,=- sin 4x-2xcos 4x.,典例2 (2018课标全国,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)
7、x2+ax.若f(x)为奇函 数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( D ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x,命题方向一 求曲线的切线方程,导数的几何意义,解析 本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,解得a=1,f(x)=x3+x, f (x)=3x2+1,f (0)=1, 故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.,易错警示 求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲 线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线方程是y-f(x0)=f (x0)
8、(x-x0); 求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.,典例3 (2018河南六市第一次联考,14)已知曲线f(x)=x+ +b(x0)在点 (1, f(1)处的切线方程为y=2x+5,则a-b= .,命题方向二 求参数的值(取值范围),答案 -8,方法技巧 根据导数的几何意义求参数值(取值范围)的思路 根据导数的几何意义求参数值(取值范围)的问题,一般是利用切点 P(x0,y0)既在曲线上又在切线上构造方程组或函数求解.,典例4 (2018山东烟台模拟)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为 .,命题方向三 求切点
9、坐标,答案 (1,1),解析 函数y=ex的导函数为y=ex, 曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00),函数y= 的导函数为y=- , 曲线y= (x0)在点P处的切线的斜率k2=- . 易知k1k2=-1,即1 =-1,解得 =1,又x00, x0=1.又点P在曲线y= (x0)上, y0=1,故点P的坐标为(1,1).,方法技巧 求切点坐标的方法 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导 数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式 求出切点的纵坐标.,2-1 (2018湖北咸宁模拟)函数f(x)=x
10、+ 的图象在x=1处的切线与两坐 标轴围成的三角形的面积为 ( B ) A. B. C. D.,答案 B 因为f(x)=x+ , f (x)=1+ ,所以f(1)=1, f (1)=2,故切线方 程为y-1=2(x-1).令x=0,可得y=-1;令y=0,可得x= .故切线与两坐标轴围成 的三角形的面积为 1 = ,故选B.,2-2 (2018安徽芜湖模拟)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0) 处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为 ( D ) A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1),答案 D f(x)=x3+ax2, f (x)=3x2+2ax, 曲线在点P(x0, f(x0)处的切线方程为x+y=0, 3 +2ax0=-1, x0+ +a =0, 或 当x0=1时, f(x0)=-1, 当x0=-1时, f(x0)=1.点P的坐标为(1,-1)或(-1, 1). 故选D.,
