1、第二节 定积分与微积分 基本定理,1.定积分的定义,2.定积分的运算性质,3.微积分基本定理,4.常见被积函数的原函数,教材研读,考点一 定积分的计算,考点二 利用定积分计算平面图形的面积,考点三 定积分在物理中的应用,考点突破,1.定积分的定义 如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0x1xi-1xixn=b将区 间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n), 作和式 f(i)x= f(i),当n时,上述和式无限接近于某个常数, 这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作 f(x)dx ,即,教材研读,f(x)dx= f(i).这里a
2、和b分别叫做积分下限和积分上限,区间 a,b叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量, f(x)dx叫做 被积式.,2.定积分的运算性质 (1) kf(x)dx= k f(x)dx (k为常数). (2) f1(x)f2(x)dx= f1(x)dx f2(x)dx . (3) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx (acb).,知识拓展 与定积分相关的结论 设函数f(x)在闭区间-a,a上连续,则由定积分的几何意义和奇偶函数图 象的对称性可得两个结论: (1)若f(x)是偶函数,则 f(x)dx=2 f(x)dx; (2)若f(x)是奇函数,则 f(x)dx=0.,3.微
3、积分基本定理 一般地,如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)=f(x),那么 f(x)dx= F(b)-F(a) ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿-莱布尼茨公 式.可以把F(b)-F(a)记为F(x) ,即 f(x)dx=F(x) = F(b)-F(a) .,4.常见被积函数的原函数 (1) cdx=cx ; (2) xndx= (n-1); (3) sin xdx=-cos x ; (4) cos xdx=sin x ; (5) dx=ln |x| ; (6) exdx=ex .,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)设函数y=f(x)在区间a,b上连续,则 f
4、(x)dx= f(t)dt.( ) (2)若f(x)是偶函数,则 f(x)dx=2 f(x)dx. ( ) (3)若f(x)是奇函数,则 f(x)dx=0. ( ) (4)曲线y=x2与直线y=x所围成的区域面积是 (x2-x)dx. ( ),2. (1+cos x)dx等于 ( D ) A. B.2 C.-2 D.+2,答案 D 因为(x+sin x)=1+cos x, 所以 (1+cos x)dx=(x+sin x) = +sin - =+2.,3.如图,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分), 则该闭合图形的面积是 ( B )A.1 B. C. D.2,答
5、案 B 由 得x1=0,x2=2,所以闭合图形的面积S= (-x2+2x+1-1)dx= (-x2+2x)dx= =- +4 = .,4.若 dx=3+ln 2(a1),则a的值是 .,答案 2,解析 由 dx=(x2+ln x) =(a2+ln a)-(12+ln 1)=a2+ln a-1=3+ln 2 (a1),得a2+ln a=4+ln 2,所以a=2.,5. dx= .,答案,解析 表示 四分之一单位圆的面积,即 ,所以结果是 .,典例1 计算下列定积分: (1) dx;(2) dx; (3) |1-x|dx;(4) dx.,定积分的计算,考点突破,解析 (1)因为(ln x)= ,所
6、以 dx=2 dx=2ln x =2(ln 2-ln 1)=2ln 2. (2)因为(x2)=2x, =- ,所以 dx= 2xdx+ dx=x2 + = . (3) = + =1- -0+ - =1.,(4)根据定积分的几何意义,可知 dx表示的是如图所示的阴 影部分的面积,即圆(x-1)2+y2=1的面积的 .故 dx= .,探究 若本例(3)变为“ ”,试求之.,解析 |x2-1|dx = = + =1- -0+ - = .,方法技巧 计算定积分的解题步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数的和 或差. (2)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (3)利
7、用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.,1-1 (3x3+4sin x)dx= .,答案 0,解析 易知y=3x3+4sin x是R上的奇函数, 所以 (3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx, 所以 (3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.,典例2 由曲线y=x2与y= 围成的封闭图形的面积为( B ) A. B. C. D.1,利用定积分计算平面图形的面积,解析 由 解得x=0或x=1, 所以曲线y=x2与y= 所围成的封闭图形的面积S = ( -x2)dx= = ,故选B.,探究 若本例中“y=
8、x2”变为“y=-x+2”,试求y=-x+2,y= 与y=0所 围成的图形的面积.,解析 如图所示,由y= 及y=-x+2可得交点横坐标为x=1.由定积分的几 何意义可知,由y= ,y=-x+2及x轴所围成的封闭图形的面积为 dx+(-x+2)dx= + = .,方法技巧 利用定积分求平面图形面积的四个步骤 步骤一画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象 步骤二借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限 步骤三把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和 步骤四计算定积分,写出答案,2-1 曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 ( A ) A. B. C. D.
9、,答案 A 由 可得 或 所以曲线y=x2+2x与直线y= x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,所以面积为 (x-2x-x2)dx= .,典例3 物体A以速度(单位:米/秒)v=3t2+1在一直线l上运动,物体B在直 线l上,且在物体A的正前方5 m处,同时以速度(单位:米/秒)v=10t与A同向 运动,出发后,物体A追上物体B所用的时间t(单位:秒)为 ( C ) A.3 B.4 C.5 D.6,定积分在物理中的应用,解析 因为物体A在t秒内行驶的路程为 (3t2+1)dt,物体B在t秒内行驶 的路程为 10tdt,(t3+t-5t2)=3t2+1-10t,所以 (3t2+1-10t)dt
10、=(t3+t-5t2) =t3+t -5t2=5,整理得(t-5)(t2+1)=0,解得t=5.,方法技巧 定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么 从时刻t=a到t=b所经过的路程s= . (2)变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向从x=a 移动到x=b时,力F(x)所做的功是W= F(x)dx.,3-1 一物体在力F(x)= (单位:N)的作用下,沿与力F相同的方 向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为 J.,答案 36,解析 由题意知,力F(x)所做的功为 W= =52+ =10+ =36(J).,
