1、第一节 函数及其表示,1.函数与映射的概念,2.函数的有关概念,3.分段函数,教材研读,考点一 求函数的定义域,考点二 求函数的解析式,考点三 分段函数,考点突破,1.函数与映射的概念,教材研读,2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 f(x)|xA叫做函数的 值域 . (2)函数的三要素: 定义域 、 值域 和 对应关系 . (3)相等函数:如果两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 完 全一致,则这两个函数相等.这是判断两函数相等的依据.,(4)函数的表示法 表
2、示函数的常用方法: 解析法 、 图象法 、 列表法 . 点拨 1.构成函数的集合A,B必须是非空数集.,2.判断两个函数是否相同,抓住两点:(1)定义域是否相同,(2)对应关系是 否相同,其中解析式可以化简,但要注意化简过程的等价性.,3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几 部分组成,但它表示的是一个函数. 点拨 一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函 数的定义域不可以相交.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)对于函数f:AB,其值域是集合B. ( ),(2)函数f(x)=
3、x2-2x与g(t)=t2-2t是同一函数. ( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数. ( ) (4)若A=R,B=x|x0, f:xy=|x|,则对应关系f是从A到B的映射. ( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的. ( ) (6)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点. ( ),2.函数f(x)= + 的定义域为 ( C ) A.0,2) B.(2,+) C.0,2)(2,+) D.(-,2)(2,+),答案 C 由题意得 解得x0且x2.,3.下列图象可以表示为以M=x|0x1为定义域,以N=y|0y1为 值域的函数的是 ( C ),答案 C
4、 A选项,函数定义域为M,但值域不是N;B选项,函数定义域不 是M,值域为N;D选项,集合M中存在x与集合N中的两个y对应,不构成函 数关系.,4.已知f =2x-5,且f(a)=6,则a= .,答案,解析 令t= x-1,则x=2t+2, f(t)=2(2t+2)-5=4t-1,则4a-1=6,解得a= .,5.设函数f(x)= 则f(f(3)= .,答案,解析 由题意知f(3)= , f = +1= , 所以f(f(3)=f = .,典例1 (1)函数f(x)= + 的定义域为 ( B ) A.-2,0)(0,2 B.(-1,0)(0,2 C.-2,2 D.(-1,2,求函数的定义域,考点
5、突破,答案 (1)B (2)0,1),(2)(2019河南联考)若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)= 的定 义域为 .,解析 (1)要使函数有意义应满足 解得x(-1,0)(0,2, 所求定义域为(-1,0)(0,2. (2)由 得0x1, 即g(x)的定义域为0,1).,方法技巧,1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子 (运算)有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求其解集即可.,2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域可由不等式ag(x)b求出. (2)若
6、已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在x a,b上的值域.,1-1 函数y= 的定义域为 ( C ) A.(-2,1) B.-2,1 C.(0,1) D.(0,1,答案 C 由题意得 解得0x1,故选C.,1-2 已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为 ( B ) A.(-1,1) B. C.(-1,0) D.,答案 B 由已知得-12x+10,解得-1x- , 所以函数f(2x+1)的定义域为 ,选B.,1-3 如果函数f(x)=ln(-2x+a)的定义域为(-,1),那么实数a的值为( D ) A.-2 B.-1 C.1 D.2
7、,答案 D 因为-2x+a0,所以x ,所以 =1,所以a=2.,典例2 (1)已知f =x2+ ,求f(x)的解析式; (2)已知f =lg x,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式; (4)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.,求函数的解析式,故f(x)的解析式是f(x)=x2-2,x2或x-2.,(2)令 +1=t,得x= ,代入已知等式得f(t)=lg , 又因为x0,所以t1.故f(x)的解析式是f(x)=lg ,x1. (3)设f(x)=ax2+bx+c(a0),
8、由f(0)=0知c=0,所以f(x)=ax2+bx, 又由f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1.,所以 解得a=b= . 所以f(x)= x2+ x,xR. (4)由f(-x)+2f(x)=2x,得f(x)+2f(-x)=2-x,2-,得3f(x)=2x+1-2-x,即f(x)= . f(x)的解析式为f(x)= ,xR.,方法技巧 求函数解析式的4种常用方法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待 定系数法. (2)配凑法:由已知条件f(g(x)=F(x
9、),可将F(x)改写成关于g(x)的式子,然后用x替代g(x),便得f(x)的解析式.,(4)解方程组法:已知关于f(x)与f 或f(-x)的等式,可根据已知条件再构造出一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).,(3)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,求f(x)的解析式时可用换元法,即令g(x)=t,从中解出x,代入已知解析式进行换元,此时要注意新元的取值范围.,2-1 已知函数f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)= .,答案 x2-5x+9(xR),2-2 已知f(x)满足2f(x)+f =3x,则f(x)= .,答案 2x- (x0),解析 2f(x)+f =3x,
10、把中的x换成 ,得2f +f(x)= . 联立可得 解此方程组可得f(x)=2x- (x0).,典例3 已知f(x)= 则f +f 的值为 ( B ) A.-2 B.4 C.2 D.-4,分段函数,命题方向一 求分段函数的函数值,解析 由题意得f =2 = . f =f =f =2 = .所以f +f =4.,命题方向二 已知函数值,求字母参数的值(或取值范围),典例4 (1)已知函数f(x)= 若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为 ( D ) A.-3 B.-1或3 C.1 D.-3或1 (2)(2018课标全国文,12,5分)设函数f(x)= 则满足f(x+1)f(2x) 的x的取值范
11、围是 ( D ) A.(-,-1 B.(0,+) C.(-1,0) D.(-,0),解析 (1)f(1)=lg 1=0,所以f(a)=0. 当a0时, f(a)=lg a=0,a=1; 当a0时, f(a)=a+3=0,a=-3. 所以a=-3或1. (2)函数f(x)= 的图象如图所示:,由f(x+1)f(2x)得 即 x0,故选D.,易错警示 (1)在求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值属于哪个区间,再 代入相应的解析式求解.当自变量的值不确定时,要分类讨论. (2)对于分段函数,已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时,应 根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验解得的自变量的值或范围 是否符合相应段的自变量的取值范围.,3-1 (2018河北石家庄模拟)已知f(x)= (0a1),且f(-2)=5,f(-1)=3,则f(f(-3)= ( B ) A.-2 B.2 C.3 D.-3,答案 B 由题意得, f(-2)=a-2+b=5, f(-1)=a-1+b=3,联立,结合0 a1,得a= ,b=1,所以f(x)= 则f(-3)= +1=9, f(f(-3)=f(9)= log39=2.故选B.,3-2 已知函数f(x)= 若f(f(1)3a2,则a的取值范围是 .,答案 (-1,3),
