1、第三节 函数的奇偶性与周期性,1.函数的奇偶性,2.奇(偶)函数的性质,3.周期性,4.周期函数常用的三个结论,教材研读,考点一 函数的奇偶性,考点二 函数的周期性,考点三 函数性质的综合应用,考点突破,1.函数的奇偶性,教材研读,2.奇(偶)函数的性质 (1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关 于原点对称的区间上的单调性 相反 . (3)在相同定义域内, (i)两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是 偶函数 . (ii)两个偶函数的和、积都是 偶函数 . (iii)一个奇函数与一个偶函数的积是 奇函数 .,(4)若函数f(
2、x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.,知识拓展 与函数奇偶性相关的结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种,即f(x)=0,xD,其中定义域D 是关于原点对称的非空数集. (3)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自 变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数, 取最值时的自变量也互为相反数.,3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有f(x+T)= f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函 数,称T为
3、这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 点拨 周期函数定义的实质是存在一个非零常数T,使f(x+T)=f(x)为恒 等式,即自变量x每增加一个T后,函数值就会重复出现一次.,4.周期函数常用的三个结论 (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2|a|; (2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|; (3)若f(x+a)=- ,则函数的周期为2|a|.,知识拓展 与函数周期相关的其他结论 (1)若f(x+a)= ,则函数的周期为2|a|; (2)若函数f(x)的图象关于直线
4、x=a与x=b对称,则函数f(x)的周期为2|b-a|; (3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是2|b-a|; (4)若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是4|b-a|;,(5)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为2|a|; (6)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为4|a|.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数y=x2,x(0,+)是偶函数. ( ) (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( ) (3)
5、如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ) (4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称. ( ) (5)若T是函数的一个周期,则nT(nZ,n0)也是函数的周期. ( ),2.下列函数中为偶函数的是 ( B ) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x,答案 B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇 非偶函数,故选B.,3.已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数,那么a+b的值是 ( B ) A.- B. C. D.-,答案 B
6、 依题意知b=0,2a=-(a-1), a= ,则a+b= .,4.已知f(x)在R上满足f(x+4)=f(x),当x(0,2)时, f(x)=2x2,则f(17)= .,答案 2,解析 f(x+4)=f(x),4为f(x)的周期. f(17)=f(44+1)=f(1)=2.,5.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若x(0,+)时, f(x)=lg x,则满足 f(x)0的x的取值范围是 .,答案 (-1,0)(1,+),解析 当x0时,令lg x0,则x1,由于f(x)是定义在R上的奇函数,所以由 奇函数的性质得-10,故填(-1,0)(1,+).,典例1 判断下列函数的奇偶性. (1)f
7、(x)=x3- ; (2)f(x)= + ; (3)f(x)=,函数的奇偶性,考点突破,解析 (1)原函数的定义域为x|x0,关于原点对称,并且对于定义域内 的任意一个x都有f(-x)=(-x)3- =- =-f(x),所以函数f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为-1,1,关于原点对称. 又f(-1)=f(1)=0, f(-1)=-f(1)=0, 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)f(x)的定义域为R,关于原点对称, 当x0时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当x0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时, f(0)
8、=0,也满足f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数.,方法技巧,1.判断函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法,(2)图象法,2.已知函数奇偶性可以解决的3个问题 (1)求函数值:利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用函数奇 偶性求出. (3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程(组),进而得到参数的值.,1-1 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( D ) A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x C.y=2x+
9、 D.y=x2+sin x,答案 D A选项为奇函数;B、C选项为偶函数;D选项是非奇非偶函 数,选D.,1-2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=x(1+x),则x0 时, f(x)= .,答案 x(1-x),解析 当x0,所以f(-x)=-x(1-x).又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)= -x(1-x),所以f(x)=x(1-x).,典例2 (2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR),且在区间(-2,2 上, f(x)= 则f(f(15)的值为 .,函数的周期性,答案,解析 f(x+4)=f(x),函数f(x)的周期为4
10、,f(15)=f(-1)= , f =cos =,f(f(15)=f = .,方法技巧 函数周期性的判断与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T0)便可得到函数是周期 函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即 周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.,2-1 (2018黑龙江哈尔滨六中期中)设f(x)是定义在R上的周期为3的函 数,当x-2,1)时, f(x)= 则f = .,答案,解析 由题意可得f =f =f =4 -2= , f = .,2-2 (2018山西
11、八校第一次联考)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足 f(x+2)=- ,当2x3时, f(x)=x,则f = .,答案,解析 f(x+2)=- ,f(x+4)=f(x),f =f ,又2x3时, f(x)=x, f = ,f = .,典例3 (2017课标全国,5,5分)函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函 数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是 ( D ) A.-2,2 B.-1,1 C.0,4 D.1,3,命题方向一 函数的单调性与奇偶性的综合问题,函数性质的综合应用,解析 已知函数f(x)在(-,+)上为单调递减函数,且为奇函数,则 f(-1) =-f(
12、1)=1,所以原不等式可化为f(1)f(x-2)f(-1),则-1x-21,即1x 3,故选D.,方法技巧 函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、 偶函数图象的对称性.,命题方向二 函数的周期性与奇偶性 典例4 设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:f(x)+f(-x)=0;f(x) =f(x+2);当0x1时, f(x)=2x-1,则f +f(1)+f +f(2)+f = .,答案,方法技巧 奇偶性与周期性综合问题的解题策略 函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及 周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义 域内求解.
13、,命题方向三 函数的周期性与对称性 典例5 (2018课标全国,11,5分)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函 数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)= ( C ) A.-50 B.0 C.2 D.50,解析 f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,f(0)=0, f(-x)=-f(x), 又f(1-x)=f(1+x),f(-x)=f(2+x), 由得f(2+x)=-f(x), 用2+x代替x得f(4+x)=-f(2+x). 由得f(x)=f(x+4), f(x)的最小正周期为4. 由于f(1-x)=f(1+x), f(1)=2,故令x
14、=1,得f(0)=f(2)=0, 令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2, 令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0, 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=120+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.,规律总结,1.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“若奇函数在x= 0处有定义,则一定有f(0)=0”“偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的 应用.,2.若函数y=f(x)的图象关于x=a对称(a=0时, f(x)为偶函数),则 (1)f(a+x)=f(a-x); (2)f
15、(2a+x)=f(-x); (3)f(2a-x)=f(x).,3-1 设f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时, f(x)=2x(1-x),则f - = ( A ) A.- B.- C. D.,答案 A 因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f - =-f =-f = - ,故选A.,3-2 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),且在0,1上是增函数,则 有 ( B ) A.f f f B.f f f C.f f f D.f f f,答案 B 由题设知f(x)=-f(x-2)=f(2-x). 又函数f(x)是奇函数,其图象关于坐标原点对称,且函数f(x)在0,1上是增 函数,所以f(x)在-1,0上也是增函数.所以,函数f(x)在-1,1上是增函数, 又f =f =f , 所以f f f =f .,
