1、第五节 二次函数与幂函数,1.二次函数,2.幂函数,教材研读,考点一 幂函数的图象与性质,考点二 二次函数的解析式,考点三 二次函数的图象与性质,考点突破,1.二次函数 (1)解析式 一般式:f(x)= ax2+bx+c(a0) . 顶点式:f(x)= a(x-h)2+k(a0) . 两根式:f(x)= a(x-x1)(x-x2)(a0) .,教材研读,(2)图象与性质,(3)二次函数的对称轴 (a)如果二次函数y=f(x)对定义域内的所有x,都有f(x1)=f(x2),那么函数y= f(x)的图象关于直线x= 对称. (b)二次函数y=f(x)对定义域内的所有x,都有f(a+x)=f(a-x
2、)成立的充要条 件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(a为常数).,2.幂函数 (1)定义:形如 y=x(R) 的函数称为幂函数,其中底数x是自变量, 为常数.常见的五类幂函数为y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1. (2)性质 幂函数在(0,+)上都有定义; 当0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+)上单调递增; 当0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+)上单调递减.,点拨 (1)在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越接近x轴(简记为,“指大图低”);(2)在(1,+)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.,1.判断正误(正确的打“
3、”,错误的打“”) (1)函数y=2 是幂函数. ( ) (2)当n0时,幂函数y=xn在(0,+)上是增函数. ( ) (3)二次函数y=ax2+bx+c(xR)不可能是偶函数. ( ) (4)二次函数y=ax2+bx+c(xa,b)的最值一定是 . ( ),2.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是 ( C ),答案 C 设幂函数的解析式为y=f(x)=x(为常数), 幂函数y=f(x)的图象过点(4,2), 2=4,解得= . y=f(x)= ,其在定义域0,+)上单调递增, 当0x1时,其图象在直线y=x的上方,对照选项,知选C.,3.若函数y=x2-2t
4、x+3在1,+)上为增函数,则t的取值范围是( A ) A.t1 B.t1 C.t-1 D.t-1,答案 A 抛物线y=x2-2tx+3的开口向上,以直线x=t为对称轴.因为函数y =x2-2tx+3在1,+)上为增函数,所以t1.故选A.,4.若二次函数y=2x2+bx+c的图象关于y轴对称,且过点(0,3),则函数的解 析式为 .,答案 y=2x2+3,解析 由题意可知函数y=f(x)为偶函数,则b=0.又过点(0,3),则c=3,故解 析式为y=2x2+3.,5.函数g(x)=x2-2x(x0,3)的值域是 .,答案 -1,3,解析 由g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x0,3,得
5、g(x)在0,1上是减函数,在1,3上 是增函数. 所以g(x)min=g(1)=-1,而g(0)=0,g(3)=3. 所以g(x)的值域为-1,3.,典例1 (1)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,则m= ( A ) A.1 B.2 C.1或2 D.3 (2)已知a= ,b= ,c=2 ,则 ( A ) A.bac B.abc C.bca D.cab,幂函数的图象与性质,考点突破,解析 (1)幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,m2-3m+3=1,即m2-3m+2 =0,解得m=1或m=2.当m=1时,幂函数f(x)=x2为偶函数,满足条件.当m=2时,
6、 幂函数f(x)=x3为奇函数,不满足条件.故选A. (2)a= = ,c=2 = ,而函数y= 在(0,+)上单调递增,所以 ,即 bac,故选A.,方法技巧 (1)对于幂函数图象的掌握首先要抓住在第一象限内的三条线,即x=1,y= 1,y=x.利用这三条线确定函数在第一象限的图象,然后利用函数的性质 确定图象的其他部分. (2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其 单调性进行比较.,1-1 (2019河北邢台模拟)已知幂函数y=f(x)的图象过点 , 则log9f(3)的值为 ( A ) A. B.- C.2 D.-2,答案 A 设幂函数f(x)=x(为常数),
7、由题意得 = , 解得= , 所以f(x)= ,所以log9f(3)=log9 = .,1-2 f(x)=x2,g(x)= ,h(x)=x-2,当0x1时, f(x),g(x),h(x)的大小关系是 .,答案 h(x)g(x)f(x),解析 分别作出f(x),g(x),h(x)的图象,如图所示.可知h(x)g(x)f(x).,典例2 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1, f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确 定此二次函数的解析式.,二次函数的解析式,解析 解法一:设f(x)=ax2+bx+c(a0), 依题意有 解得 所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 解法二:
8、设f(x)=a(x-m)2+n(a0),f(2)=f(-1), 抛物线的对称轴为直线x= = ,m= .,又函数f(x)的最大值是8,n=8. f(x)=a +8. f(2)=-1, a +8=-1,解得a=-4. f(x)=-4 +8=-4x2+4x+7.,方法技巧 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件选择 恰当的二次函数解析式的形式,选择规律如下:,2-1 已知二次函数图象的顶点是 ,与x轴的两个交点之间的距离 为6,则这个二次函数的解析式为 .,答案 y=- x2- x+,典例3 (1)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x0,1上有最大值2,则实数a的 值为
9、 . (2)已知f(x)=x2+2(a-2)x+4,若对x-3,1, f(x)0恒成立,则实数a的取值范 围为 .,二次函数的图象与性质,答案 (1)-1或2 (2),解析 (1)函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a. 当a1时, f(x)max=f(1)=a,所以a=2. 综上可知,a=-1或a=2.,(2)因为f(x)=x2+2(a-2)x+4,对称轴为x=-(a-2),对x-3,1, f(x)0恒成立, 所以讨论对称轴与区间-3,1的位置关系得:或 或 解得a或1a4或- a1, 所以a的取值范围为 .,方法技巧,1.二次函数最值的求法
10、抓住“三点一轴”进行数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴 指的是对称轴,具体方法是利用配方法、函数的单调性及分类讨论的思 想求解.,2.二次函数中恒成立问题的求解思路 求解恒成立问题中的参数问题时,常用的思路是分离参数,这种思路是 将问题归结为求函数的最值,其依据是af(x)恒成立af(x)max,a f(x)恒成立af(x)min(应用时注意f(x)的最大(小)值是否存在).,同类练 已知函数f(x)=x2-2tx+1在区间2,5上单调且最大值为8,则实数t 的值为 .,答案,若t2,则函数f(x)在区间2,5上单调递增,故f(x)max=f(5)=25-10t+1=8,解 得t= ;
11、若t5,则函数f(x)在区间2,5上单调递减,故f(x)max=f(2)=4-4t+1=8, 解得t=- (舍去).综上所述,t= .,解析 易知函数f(x)=x2-2tx+1图象的对称轴方程是x=t,因为函数在区间 2,5上单调,所以t2或t5.,变式练 若函数f(x)=x2-2x+1在区间a,a+2上的最小值为4,则a的取值集 合为 ( C ) A.-3,3 B.-1,3 C.-3,3 D.-1,-3,3,答案 C f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,图象的对称轴是x=1. 因为f(x)在区间a,a+2上的最小值为4, 所以当1a时,ymin=f(a)=(a-1)2=4,解得a=-1(舍去)或a=3, 当a+21,即a-1时,ymin=f(a+2)=(a+1)2=4,解得a=1(舍去)或a=-3, 当a1a+2,即-1a1时,ymin=f(1)=04,不符合题意, 故a的取值集合为-3,3.,深化练 已知函数f(x)=x2+2x+1, f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立,则实数 k的取值范围是 .,答案 (-,1),解析 由题意得x2+x+1k在区间-3,-1上恒成立. 设g(x)=x2+x+1,x-3,-1,则g(x)在-3,-1上递减. g(x)min=g(-1)=1. k1.故实数k的取值范围是(-,1).,
