1、第八节 函数与方程,1.函数的零点,2.二次函数 () 的图象与零点的关系,教材研读,考点一 函数零点所在区间的判断,考点二 判断函数零点的个数,考点三 函数零点的应用,考点突破,1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(xD),我们把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)(x D)的零点.,教材研读,(2)函数零点的判定(零点存在性定理) 一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是 连续不断 的一条 曲线,并且有 f(a)f(b)0 ,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零 点,即存在c(a,b),使得 f(c)=0 ,这个c也就是方程f(x)=0
2、的根. 点拨 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y =f(x)有零点.,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. ( ) (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0. ( ) (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. ( ),(4)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点. ( ) (5)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上有且只有一
3、 个零点. ( ),2.函数f(x)=ln x- 的零点所在的大致范围是 ( B ) A.(1,2) B.(2,3) C. 和(3,4) D.(4,+),答案 B 易知f(x)在(0,+)上为增函数,由f(2)=ln 2-10, 得f(2)f(3)0.故选B.,3.函数f(x)= 的所有零点的和等于( A ),A.1-2 B.1- C.1- D.1-,答案 A 当x0时,令f(x)=0,得x=1;当-2x0时,令f(x)=0,得x=- 或x =- ,所以函数f(x)所有零点的和为1-2,故选A.,4.函数f(x)=ex+3x的零点有 个.,答案 1,解析 函数f(x)=ex+3x在R上是增函数
4、,f(-1)= -30, f(-1)f(0)0,函数f(x)有唯一零点,且在(-1,0)内.,5.函数y= -m有两个零点,则m的取值范围是 .,答案 (0,1),解析 在同一直角坐标系内,画出y1= 和y2=m的图象,如图所示,由于 原函数有两个零点,故0m1.,典例1 (1)(2018河南濮阳一模)函数f(x)=ln 2x-1的零点所在的区间 为( D ) A.(2,3) B.(3,4) C.(0,1) D.(1,2) (2)设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为 ( B ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),函数零点所在区间的判断,考
5、点突破,解析 (1)f(x)=ln 2x-1是增函数,并且是连续函数, f(1)=ln 2-10,根据函数零点存在性定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)内,故 选D. (2)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)=ln x,h(x)=-x+2图象交 点的横坐标所在的取值范围.作图如下:,由图可知,函数g(x)与h(x)的图象交点的横坐标的取值范围是(1,2).故选B.,方法技巧 判断函数零点所在区间的两种常用方法 (1)定义法:利用函数零点存在性定理,首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间 (a,b)
6、内必有零点. (2)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来 判断.,1-1 已知实数a1,0b1,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是( B ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2),答案 B a1,00,由零点存在性定理可知f(x)的零点在区间(-1,0)内.,典例2 已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时, f(x)=x3 -x,则函数y=f(x)在区间-4,4上的零点个数为 ( B ) A.8 B.9 C.10 D.11,判断函数零点的个数,解析 因为f(x)是最小正周期为2的周期函数, 且0x2时, f
7、(x)=x3-x=x(x-1)(x+1), 所以当0x2时, f(x)=0有两个根,即x1=0,x2=1; 由周期函数的性质知,当-4x-2时,f(x)=0有两个根,x3=-4,x4=-3; 当-2x0时, f(x)=0有两个根,x5=-2,x6=-1;,当2x4时, f(x)=0有两个根,x7=2,x8=3;x9=4也是f(x)=0的根, 故函数f(x)在-4,4上有9个零点.,方法技巧 判断函数零点个数的方法 (1)解方程法:所对应方程f(x)=0有几个不同的实数解就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断. (3)数形结合法:转化为两个函数图象的交
8、点个数问题,先画出两个函数 的图象,看其交点的个数,交点的个数就是函数零点的个数.,2-1 函数f(x)= 的零点个数为 ( B ) A.3 B.2 C.7 D.0,答案 B 由f(x)=0,得 或 解得x=-2或x=e. 因此函数f(x)共有2个零点.,典例3 (1)函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范 围是 ( C ) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) (2)(2018课标全国,9,5分)已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x) 存在2个零点,则a的取值范围是 ( C ) A.-1,0) B.0,+) C.
9、-1,+) D.1,+),函数零点的应用,解析 (1)函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1,2)内,则f(1)f(2)0,即(2-2 -a)(4-1-a)0,故0a3. (2)g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)= 与h(x)=-x-a的图 象存在2个交点,如图,当x=0时,h(0)=-a, 由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点, 需要-a1,即a-1.故选C.,方法技巧 已知函数有零点(方程有根)求参数的取值范围(值)常用的方法 直接法直接解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围分离 参数法先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决
10、数形结合先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图 象,然后观察求解,3-1 若函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围 是 ( C ) A.(1,+) B.(-,1) C.(-,-1)(1,+) D.(-1,1),答案 C 由题意知, f(-1)f(1)1.,3-2 若函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点, 方程4x-2x-a=0在-1,1上有解, 即方程a=4x-2x在-1,1上有解. 方程a=4x-2x可变形为a= - , x-1,1, 2x , - .,实数a的取值范围是 .,
