1、第九节 函数模型及应用,1.几种常见的函数模型,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤(四步八字),教材研读,考点一 二次函数、分段函数模型,考点二 函数 模型,考点三 指数、对数函数模型,考点突破,1.几种常见的函数模型,教材研读,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用 数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以
2、上过程用框图表示如下:,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快. ( ) (2)在(0,+)内,随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y= x(0)的增长速度. ( ) (3)指数型函数模型一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实 际问题. ( ) (4)不存在x0,使 logax0. ( ),2.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种 商品x万件时的生产成本为C(x)= x2+2x+20(万元).一万件售价是20万 元,为获取最大利润,该企业一个月应 生产该商品数量为 ( B ) A.36万件 B.
3、18万件 C.22万件 D.9万件,答案 B 设利润为L(x),则利润L(x)=20x-C(x)=- (x-18)2+142,当x=18时, L(x)有最大值.,3.如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的 速度注入其中,注满为止.用容器下面所对的图象表示该容器中水面的 高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( A ),A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水 面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出 来,中的增长应该是匀速的,故下面的图象不正确;中的增长速度是 越来越慢的,正确;中的增长
4、速度是先快后慢再快,正确;中的增长速 度是先慢后快再慢,也正确,故只有是错误的.选A.,4.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形 的面积最大,则隔墙的长度为 .,答案 3,5.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额 x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的 奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元.,答案 1 024,解析 依题意得 即 解得a=2,b=-2. y=2log4x-2, 当y=8,即2log4x-2=8时, x=1 024(万元).,典例1 为了迎接两会的胜
5、利召开,某旅游区提倡低碳生活,在景区提供 自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的 费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行 车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆. 为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求租自行车,二次函数、分段函数模型,考点突破,一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的 日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分). (1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?,解
6、析 (1)当x6时,y=50x-115, 令50x-1150,解得x2.3, x为整数,3x6. 当x6时,y=50-3(x-6)x-115=-3x2+68x-115.,令-3x2+68x-1150,有3x2-68x+1150, 结合x为整数得6x20.,故y= (2)对于y=50x-115(3x6,xZ), 显然当x=6时,ymax=185, 对于y=-3x2+68x-115=-3 + (6185,当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.,规律总结 二次函数、分段函数模型问题的3个注意点 (1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时,一定要注意自 变量的取值范围. (
7、2)对于分段函数模型的最值问题,应该先求出每一段上的最值,然后比 较大小. (3)在利用基本不等式求最值时,一定要检验等号成立的条件,也可以利 用函数单调性求最值.,1-1 牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际蓄 养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长 量y只与实际蓄养量x只和空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k0). (1)写出y关于x的函数关系式; (2)求羊群年增长量的最大值; (3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.,解析 (1)根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率 为 ,故空闲率为1- ,由此可得y=kx
8、(0xm). (2)对原二次函数配方, 得y=- (x2-mx)=- + .故当x= 时,y取得最大值 . (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长 量的和小于最大蓄养量,所以0x+ym.,因为当x= 时,ymax= ,所以00,所以0k2.,典例2 小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调 查,生产某小型电子商品需投入年固定成本3万元,每生产x万件,需另投 入流动成本W(x)万元.在年产量不足8万件时,W(x)= x2+x;在年产量不小 于8万件时,W(x)=6x+ -38.每件商品售价为5元.通过市场分析,小王生 产的商品当年能全部售完.,函数 模型
9、,(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润= 年销售收入-固定成本-流动成本) (2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大 利润是多少?,解析 (1)因为每件商品售价为5元, 则x万件商品销售收入为5x万元. 依题意得, 当0x8时,L(x)=5x- -3=- x2+4x-3; 当x8时,L(x)=5x- -3=35- . 所以L(x)=,方法技巧 应用对勾函数模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= “相加”而 成的 (2)利用模型f(x)=ax+ 求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最
10、 值时的条件.,2-1 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在矩形温 室内,沿左、右两侧与后侧内墙保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m 宽的空地,当矩形温室的长、宽各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大 面积是多少?,解析 设矩形温室的左侧边长为x m,则后侧边长为 (m). 所以蔬菜种植面积y=(x-4) =808-2 (4x400). 因为x+ 2 =80. 所以y808-280=648. 当且仅当x= ,即x=40时取等号,此时 =20,ymax=648 m2. 即当矩形温室的长、宽分别为40 m、20 m时,蔬菜的种植面积最大,最 大面积是648 m2.,典例3 (
11、1)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年 衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14 含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若 某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的 “半衰期”个数至少是 ( C ) A.8 B.9 C.10 D.11,指数、对数函数模型,(2)里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲 线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪 记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震 级为 级;9级地震的最大
12、振幅是5级地震最大振幅的 倍.,答案 (1)C (2)6;10 000,方法技巧 指数、对数函数模型的求解方法 (1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂增长率的问题 常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为 增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格 中给定的值对应求解.,(2)有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际 情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入 解析式求值,然后根据值回答其实际意义.,3-1 声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg 给出,其中I为声强(单位: W/m2). (1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级; (2)一般情况下,平常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声 强为多少?,解析 (1)当声强为10-6 W/m2时, 由公式Y=10lg , 得Y=10lg =10lg 106=60(分贝). (2)当Y=0时,由公式Y=10lg 得10lg =0. 所以 =1,即I=10-12 W/m2,则最低声强为10-12 W/m2.,
