1、第二节 函数的单调性与最值,1.函数的单调性,2.函数的最值,教材研读,考点一 函数单调性的判断,考点二 求函数的单调区间,考点三 函数单调性的应用,考点突破,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,教材研读,(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的) 单调性 ,区间D叫做函数y=f(x)的 单调区间 . 2.函数的最值,1.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则 ( B ) A.m B.m- D.m-,解析 y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-10,即m .,2.(2017北京朝阳期中)已知函数f(
2、x)=ax2-x,若对任意的x1,x22,+),且x1 x2,不等式 0恒成立,则实数a的取值范围是 ( D )A. B. C. D.,解析 由题意知函数f(x)在2,+)上单调递增,则 解得a , 故选D.,3.已知函数y= ,那么 ( A ) A.函数的单调递减区间为(-,1),(1,+) B.函数的单调递减区间为(-,1)(1,+) C.函数的单调递增区间为(-,1),(1,+) D.函数的单调递增区间为(-,1)(1,+) 解析 函数y= 的图象可看作y= 的图象向右平移1个单位得到的, y= 在(-,0)和(0,+)上单调递减,y= 在(-,1)和(1,+)上单 调递减,故选A.,4
3、.若函数f(x)满足“对任意的x1,x2R,当x1f(x2)”,则满足 f(2x-1)1,即x1, x的取值范围为(1,+).,5.(2013北京,13,5分)函数f(x)= 的值域为 (-,2) . 解析 x1时,f(x)=lo x是单调递减的, 此时,函数的值域为(-,0; x1时,f(x)=2x是单调递增的, 此时,函数的值域为(0,2). 综上, f(x)的值域是(-,2).,考点一 函数单调性的判断 典例1 (2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是 ( A ) A.y= B.y=(x-1)2 C.y=2-x D.y=log0.5(x+1),考点突破,解析
4、y=(x-1)2仅在1,+)上为增函数,排除B;y=2-x= 为减函数,排除 C;因为y=log0.5t为减函数,t=x+1为增函数,所以根据复合函数“同增异 减”的单调法则知y=log0.5(x+1)为减函数,排除D;y= 和t=x+1均为增函 数,所以y= 为增函数,故选A.,典例2 判断函数f(x)= (a0)在x(-1,1)上的单调性. 解析 任取x1,x2,且-10,x1x2+10,( -1)( -1)0. 又a0, f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上为减函数.,方法技巧 判断函数单调性的方法 1.定义法:利用定义判断. 2.利用函数的
5、性质:如若y=f(x)、y=g(x)为增函数,则 a.y=f(x)+g(x)为增函数; b.y= 为减函数(f(x)0); c.y= 为增函数(f(x)0); d.y=f(x)g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0); e.y=-f(x)为减函数.,3.利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”,即:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数 的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的 复合函数为减函数. 4.图象法. 5.导数法.,1-1 (2016北京,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( D ) A.y= B.y=cos x C.y=ln(x
6、+1) D.y=2-x 解析 选项A中,y= = 的图象是将y=- 的图象向右平移1个单位得到的,故y= 在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上 为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将 y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不 符合题意;选项D符合题意.,考点二 求函数的单调区间 典例3 (1)函数f(x)=maxx2-x,1-x2的单调增区间是 ( A ) A. ,1,+) B. ,0,1 C. D.0,1 (2)函数y= 的单调递增区间为 2,+) ,单调
7、递减区间为(-,-3 .,解析 (1)令x2-x=1-x2,得x=- 或x=1. 当x1时, f(x)=x2-x; 当- x1时, f(x)=1-x2,f(x)=,画出函数f(x)的图象,如图.观察图象得单调增区间为 和1,+). 故选A.,(2)令u=x2+x-6,则y= 可以看作是由y= 与u=x2+x-6复合而成的 函数. 令u=x2+x-60,得x-3或x2. u=x2+x-6在(-,-3上是减函数,在2,+)上是增函数,而y= 在0,+) 上是增函数, y= 的单调递减区间为(-,-3,单调递增区间为2,+).,方法技巧 1.函数的单调性与“区间”紧密相关,函数的单调区间是函数定义域
8、的子集,所以要求函数的单调区间,必须先求出函数的定义域. 2.由图象确定函数的单调区间需注意:图象不连续且有多个上升段(下降段)的函数,其单调增(减)区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用 “”连接. 3.利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定相应各函数的单调性.,2-1 函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是 ( A ) A.1,2 B.-1,0 C.0,2 D.2,+),解析 f(x)=|x-2|x= 结合图象(图略)可知函数的单调递减区间是1,2.故选A.,2-2 函数f(x)=lo (x2-4)的单调递增区间为 ( D ) A.(0,+) B.(-,0) C.(2,+) D
9、.(-,-2)解析 由x2-40得x2. 易知u=x2-4在(-,-2)上为减函数, 在(2,+)上为增函数,y=lo u为减函数, 故f(x)的单调递增区间为(-,-2).,考点三 函数单调性的应用 命题方向一 比较函数值的大小 典例4 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2x11 时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)ab B.cba C.acb D.bac,解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+)上是 减函数, 所以a=f =f , f(2)f( )f(3), 所以bac.,命题方向二 解函数不等式 典例5 已知函数f(x)= 若f(
10、3-a2)f(2a),则实数a的取值范围 是 (-3,1) .,解析 根据所给的分段函数,画函数图象如下:观察图象可知函数f(x)在R上是单调递减的, 由f(3-a2)2a,解得-3a1. 所以实数a的取值范围是(-3,1).,命题方向三 求参数的取值范围 典例6 设函数f(x)= 若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则 实数a的取值范围是 ( D ) A.(-,1 B.1,4 C.4,+) D.(-,14,+),解析 函数y=f(x)的图象如图.函数在(a,a+1)上单调递增, a+12或a4, a1或a4.,命题方向四 求函数的最值 典例7 (2016北京海淀一模,14)已知
11、函数f(x),对于实数t,若存在a0,b0, 满足xt-a,t+b,使得|f(x)-f(t)|2,则记a+b的最大值为H(t). (1)当f(x)=2x时,H(0)= 2 ; (2)当f(x)=x2且t1,2时,函数H(t)的值域为 - ,22 ,4 .,解析 (1)当t=0时,|f(x)-f(0)|=|2x|2, 所以-1x1,即x0-1,0+1,所以a=b=1,H(0)=2. (2)|f(x)-f(t)|=|x2-t2|2,所以t2-2x2t2+2. 当t( ,2时,0t2-2x2t2+2, 即x , , 又xt-a,t+b, 所以a=t- ,b=-t+ , 记H(t)=a+b= - =
12、,关于t2单调递减, 所以H(t) - ,2.,当t1, 时,t2-20x2t2+2, 即x- , , 又xt-a,t+b, 所以a=t+ ,b= -t, 记H(t)=a+b=2 ,关于t2单调递增, 所以H(t)2 ,4, 综上,H(t) - ,22 ,4.,方法技巧 函数单调性的应用比较广泛,可用来比较函数值的大小、解函数不等 式、求参数的范围等. (1)利用函数单调性比较两个函数值的大小 若f(x)在给定的区间A上是递增的,任取x1,x2A,则x1f(x2).若给定的两个自变量在同一单调区间上,可直接比较其函数值的大小,否则,要先根据奇偶性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性
13、比较其函数值的大小.,(2)利用函数单调性解函数不等式 解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f ”,变函数 不等式为一般不等式.去掉“f ”时,要注意f(x)的定义域的限制. (3)利用函数的单调性求参数的取值范围 依据函数单调性的定义,通过作差构造关于参数的不等式,再进行求解.,3-1 (2017北京海淀一模,4)设a,bR,若ab,则 ( B ) A. 2b C.lg alg b D.sin asin b 解析 a,bR,且ab, 当a0,bb,但sin asin b,故D不成立,故选B.,3-2 已知函数f(x)是定义在0,+)上的增函数,则满足f(2x-1)f 的x 的取值范围是 ( D ) A. B. C. D. 解析 由题意得 解得 x .,
