1、第三节 函数的奇偶性与周期性,1.函数的奇偶性,2.奇（偶）函数的性质,3.周期性,教材研读,考点一 函数的奇偶性,考点二 函数的周期性,考点三 函数性质的综合应用,考点突破,1.函数的奇偶性,教材研读,2.奇(偶)函数的性质 (1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关 于原点对称的区间上的单调性 相反 . (3)在相同定义域内, (i)两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是 偶函数 . (ii)两个偶函数的和、积都是 偶函数 . (iii)一个奇函数与一个偶函数的积是 奇函数 . (4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定
2、义,则f(0)=0.,3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有f(x+T)= f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,知识拓展 与函数奇偶性相关的结论 (1) f(x)为奇函数 f(x)的图象关于原点对称; f(x)为偶函数 f(x)的图象关于y轴对称. (2)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0) =0. (3)如果函数f(x)是偶函
3、数,那么f(x)=f(|x|). (4)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种,即f(x)=0,xD,其中定义域 D是关于原点对称的非空数集.,(5)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (6)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自 变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.,1.(2019北京西城高三期末,2)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+) 上单调递增的是 ( C ) A.y=x2+2x B.y=x3 C.y=ln|x| D.y=cos x,2.已知函数f(x)为奇
4、函数,且当x0时, f(x)=x2+ ,则f(-1)=( A ) A.-2 B.0 C.1 D.2解析 f(1)=1+ =2,因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.故选A.,3.(2017北京海淀二模,6)已知f(x)是R上的奇函数,则“x1+x2=0”是 “f(x1)+f(x2)=0”的 ( A ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 若x1+x2=0,则x1=-x2, f(x1)=f(-x2)=-f(x2),从而f(x1)+f(x2)=0,故充分性成立; 若f(x)=0,则x1=1,x2=2时, f(x1)+f
5、(x2)=0,但x1+x20,故必要性不成立,所以“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分而不必要条件.,4.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),对于任意的x1,x20,+), 0(x2x1),则 ( D )A.f(-1)f(-2)f(3) B.f(3)f(-1)f(-2) C.f(-2)f(-1)f(3) D.f(3)f(-2)f(-1),解析 由f(-x)=f(x)得f(x)为偶函数,对于任意x1,x20,+),0,即当x0时,f(x)为减函数,则f(3)f(2)f(1), 易得f(3)f(-2)f(-1),故选D.,5.(2018北京海淀期中)已知函数f(x
6、)是定义在R上的周期为2的奇函数,当 0x1时, f(x)= ,则f +f(0)= .,答案 -2 解析 函数f(x)是定义在R上的奇函数, f(0)=0, f =-f . 函数f(x)的周期为2,f =f =2. f +f(0)=-2.,6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)的 解析式为 ,不等式f(x)0的解集为 .,答案 f(x)=-x2+4;(-2,0)(2,+),解析 当x0时,-x0,f(-x)=x2-4,又f(-x)=-f(x),f(x)=-x2+4;,当x0时, f(x)=-x2+42,x2, 不等式f(x)0的解集为(-2,0)(2,+).,考点一 函数
7、的奇偶性 命题方向一 函数奇偶性的判断 典例1 (1)(2019北京朝阳高三期末,2)下列函数中,在其定义域内既是 奇函数又是增函数的是 ( B ) A.y=lg x B.y=x3 C.y=sin x D.y= (2)(2017北京石景山一模)下列函数中为偶函数的是 ( B ) A. f(x)=2x- B. f(x)=xsin x,考点突破,C. f(x)=excos x D. f(x)=x2+sin x,解析 (1)略. (2)四个函数的定义域均为R.对于A,易判断是奇函数;对于B, f(-x)=(-x) sin(-x)=xsin x=f(x),是偶函数;对于C, f(-x)=e-xcos(
8、-x)=e-xcos x,既不是奇 函数也不是偶函数;对于D, f(-x)=(-x)2+sin(-x)=x2-sin x,既不是奇函数也 不是偶函数.,方法技巧 判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法.首先判断定义域是否关于原点对称,然后判断f(-x)与f(x)的关系. (2)图象法.若图象关于原点对称,则函数为奇函数;若图象关于y轴对称, 则函数为偶函数. (3)性质法.“奇奇”是奇,“奇奇”“奇奇”是偶;“偶偶”是偶,“偶偶”“偶偶”是偶;“奇偶”是奇,“奇偶”是奇.,典例2 已知函数f(x)在区间(0,+)上是增函数,函数g(x)=f(|x|),若 g(lg x)g(1),则x的取值范围
9、是 ( D ) A.(0,10) B.(10,+) C. D. (10,+),命题方向二 函数奇偶性的应用,解析 g(x)=f(|x|), g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x), g(x)为偶函数. 又f(x)在(0,+)上为增函数, g(x)在(-,0)上为减函数,在(0,+)上为增函数, 当|x|越大时,g(x)越大, 若g(lg x)g(1),则|lg x|1. lg x1或lg x-1,故x10或0x .故选D.,方法技巧 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值 将待求值利用奇偶性转化到已知区间上求解. (2)求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区
10、间上,再利用奇偶性求解,或充 分利用奇偶性,构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.,利用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.,(3)求函数解析式中参数的值,1-1 已知函数f(x)是奇函数,且当x0时, f(x)=ex,则f(-1)= ( D ) A. B.- C.e D.-e,解析 函数f(x)是奇函数,f(-1)=-f(1)=-e.,1-2 函数f(x-1)是R上的奇函数,x1,x2R,(x1
11、-x2)f(x1)-f(x2)0,则f(1-x) 0的解集是( C ) A.(-,0) B.(0,+) C.(-,2) D.(2,+),解析 由于函数f(x-1)是R上的奇函数,故有f(-x-1)=-f(x-1),令x=0,则 有f(-1)=-f(-1),于是有f(-1)=0. x1,x2R,(x1-x2)f(x1)-f(x2)-1,解得x2,故选C.,典例3 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x+ 2)2;当-1x3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(2 012)= ( B ) A.335 B.338 C.1 678 D.2 01
12、2 (2)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( D ) A.-2 B.-1 C.0 D.1,考点二 函数的周期性,解析 (1)由f(x+6)=f(x)得f(x)的周期为6,所以f(1)+f(2)+f(2 012)= 335f(1)+f(2)+f(6)+f(1)+f(2),而f(1)=1, f(2)=2, f(3)=f(-3)=-1, f(4)= f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(6)=1,所以f(1)+ f(2)+f(2 012)=338,故选B. (2)由f(x+2)是偶
13、函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)= -f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期 的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以 f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.,方法技巧 判断函数周期性的几个常用结论 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有: (1)f(x+a)=-f(x)(a0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期; (2)f(x+a)= (a0,f(x)0),则函
14、数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期; (3)f(x+a)=- (a0,f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期.,2-1 若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1, f(2)=2,则f(3)-f(4)等于 ( A ) A.-1 B.1 C.-2 D.2,解析 由f(x)是R上周期为5的奇函数,知f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)= -f(1)=-1,f(3)-f(4)=-1,故选A.,2-2 已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)= ,当2x3 时, f(x)=x,则f(105.5)= .,解析 由f(x+2)
15、= 得, f(x+4)=f(x+2)+2= = =f(x), f(x)是以4为周期的周期函数. f(105.5)=f(264+1.5)=f(1.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5). f(x)为偶函数,且当2x3时, f(x)=x,f(105.5)=f(2.5)= .,答案,典例4 (1)(2018北京朝阳二模,7)已知定义在R上的奇函数f(x)在0,+) 上单调递减,且a+b0,b+c0,a+c0,则f(a)+f(b)+f(c)的值 ( B ) A.恒为正 B.恒为负 C.恒为0 D.无法确定 (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函 数,
16、则 ( D ) A. f(-25)f(11)f(80) B. f(80)f(11)f(-25),考点三 函数性质的综合应用,C. f(11)f(80)f(-25) D. f(-25)f(80)f(11),解析 (1)本题考查函数的单调性和奇偶性. 因为奇函数f(x)在0,+)上单调递减, 所以f(x)在R上单调递减. 因为a+b0,所以a-b,所以f(a)f(-b)=-f(b), 则f(a)+f(b)0. 同理可得f(b)+f(c)0, f(a)+f(c)0.,+得2(f(a)+f(b)+f(c)0,故f(a)+f(b)+f(c)0,故选B.,(2)因为f(x)=f(x+4-4)=-f(x+4
17、)=-f(x+8-4)=f(x+8), 所以函数f(x)是以8为周期的周期函数, 则f(-25)=f(-1), f(80)=f(0), f(11)=f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x), 得f(3)=-f(-1)=f(1),则f(11)=f(1). 因为f(x)在区间0,2上是增函数, f(x)在R上是奇函数, 所以f(x)在区间-2,2上是增函数,所以f(-1)f(0)f(1),所以f(-25)f(80) f(11).故选D.,方法技巧 函数性质的综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性结合.注意应用函数单调性及奇偶性的定义,以 及奇、
18、偶函数图象的对称性. (2)周期性与奇偶性结合.此类问题多为求值问题,常交替利用奇偶性及 周期性将所求函数值对应的自变量值转化到已知解析式的区间内求解. (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转 化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.,3-1 已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x(0,2)时, f(x)=2x2, 则f(7)= ( B ) A.2 B.-2 C.-98 D.98,解析 由f(x+4)=f(x)得f(7)=f(7-8)=f(-1), 由f(x)在R上是奇函数得f(-1)=-f(1), 又当x(0,2)时, f(x)=2x2,f(1)=2,f(7)=-2.故选B.,3-2 函数f(x)在(-,+)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1 f(x-2)1的x的取值范围是 ( D ) A.-2,2 B.-1,1 C.0,4 D.1,3,解析 已知函数f(x)在(-,+)上为单调递减函数,且为奇函数,则 f(-1) = -f(1)=1,所以原不等式可化为f(1)f(x-2)f(-1),则-1x-21,即1x3,故选D.,
