1、第四节 二次函数与幂函数,1.二次函数,2.幂函数,教材研读,考点一 幂函数的图象与性质,考点二 二次函数的图象与性质,考点三 二次函数闭区间上的最值,考点突破,1.二次函数 (1)二次函数的定义 形如 f(x)=ax2+bx+c(a0) 的函数叫做二次函数. (2)二次函数的三种表示形式 (i)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a0);(ii)顶点式: f(x)=a(x-m)2+n(a0); (iii)两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).,教材研读,(3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,2.幂函数 (1)幂函数的定义 形如 y=x 的函数称为幂函数,
2、其中x是 自变量 ,为 常数 . (2)幂函数的性质 (i)当0时,幂函数y=x有下列性质: a.图象都过点(0,0)、 (1,1) . b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.,(ii)当0时,幂函数y=x有下列性质: a.图象都过点 (1,1) . b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小.,(3)五种常见幂函数的性质,1.已知幂函数f(x)=x的图象经过点(2, ),那么lg f(2)+lg f(5)等于 ( C ) A.- B.1 C. D.2,解析 由题意得2= ,= ,f(x)= , 则lg f(2)+lg f(5)=lg f(2)f(5)=lg (25 = .,2.若四个幂函数
3、y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示, 则a、b、c、d的大小关系是 ( B )A.dcba B.abcd,C.dcab D.abdc,解析 根据幂函数的性质及图象知选B.,3.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是 ( C ) A. B. C. D.,解析 函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方, 解得a .,4.已知f(x)=4x2-mx+5在2,+)上是增函数,则实数m的取值范围是 .,解析 因为函数f(x)=4x2-mx+5的单调递增区间为 , 所以 2,即m16.,答案 (-,16,5.(2017北京石景山一模)已知函数
4、f(x)= 若f(a)f(2-a),则a的 取值范围是 .,解析 当x0时, f(x)=x2+x, 易知f(x)在0,+)上单调递增;当xf(2-a),a2-a,解得a1.,答案 (1,+),考点一 幂函数的图象与性质 典例1 (1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( C ),考点突破,(2)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,则m= ( A ) A.1 B.2 C.1或2 D.3,(3)若(a+1 (3-2a ,则实数a的取值范围是 .,解析 (1)设幂函数的解析式为f(x)=xa, 幂函数y=f(x)的图象过点(4,2), 2=4a,
5、解得a= . f(x)= ,定义域为0,+),且是增函数, 当0x1时,其图象在直线y=x的上方,对照选项知选C.,(2)幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数, m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m=2.当m=1时,幂函数f(x)=x2为偶 函数,满足条件.当m=2时,幂函数f(x)=x3为奇函数,不满足条件.故选A.,(3)易知函数y= 的定义域为0,+),在定义域内为增函数,所以解得-1a .,规律总结 (1)幂函数的形式是y=x(R),其中只有一个参数,因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)若幂函数y=x(R)是偶函数,则必为偶数.当是分数时,一般将
6、解析式先化为根式的形式,再判断奇偶性. (3)若幂函数y=x在(0,+)上单调递增,则0,若在(0,+)上单调递减,则0.,1-1 已知幂函数y=f(x)的图象过点 ,则log9f(3)的值为 ( A ) A. B.- C.2 D.-2,解析 设幂函数f(x)=x(为常数), 由题意得 = ,解得= , 所以f(x)= ,所以log9 f(3)=log9 = .,1-2 已知a= ,b= ,c=2 ,则 ( A ) A.bac B.abc C.bca D.cab,答案 a= = ,c=2 = ,而函数y= 在(0,+)上单调递增,所以 ,即bac,故选A.,典例2 已知二次函数y=ax2+bx
7、+c满足abc,且a+b+c=0,那么它的图象 是下图中的 ( A ),考点二 二次函数的图象与性质,解析 abc且a+b+c=0,a0,c0, 图象开口向上,在y轴上截距为负, 且过点(1,0).故选A.,典例3 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确 定此二次函数的解析式.,解析 解法一:设f(x)=ax2+bx+c(a0), 依题意有 解得 二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.,抛物线的对称轴为直线x= = ,m= . 又函数f(x)的最大值为8, f(x)=a +8. f(2)=-1,a +8=-1,解得a=-4, f(x)=
8、-4 +8=-4x2+4x+7.,解法二:设f(x)=a(x-m)2+n(a0), f(2)=f(-1),解法三:依题意知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数f(x)的最大值为8, =8(a0), 解得a=-4, 函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.,方法技巧 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当 选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:,2-1 设f(x)= 若存在实数b,使得函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a 的取值范围是 .,解析 如图
9、,由y=x3和y=x2的图象可知,若存在b使g(x)=f(x)-b有两个零点, 即f(x)=b有两个实根,则a1.,答案 (-,0)(1,+),2-2 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且截x轴所得的线段长为2,并 且对任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.,解析 f(2-x)=f(2+x)对xR恒成立, f(x)的图象的对称轴为直线x=2. 又f(x)的图象截x轴所得的线段长为2, f(x)=0的两根为x=1和x=3. 设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a0), 又f(x)的图象过点(4,3),3a=3,a=1. f(x)的解析式为f(x
10、)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.,考点三 二次函数闭区间上的最值 命题方向一 求二次函数闭区间上的最值,典例4 已知f(x)=ax2-2x,求f(x)在0,1上的最小值.,解析 当a=0时, f(x)=-2x,在0,1上递减, 当0x1时, f(x)min=f(1)=-2.,当a0时, f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向上,且对称轴为x= . 当 1,即a1时,f(x)在 上递减,在 上递增, 当0x1时, f(x)min=f = - =- . 当 1,即0a1时,f(x)在0,1上递减. 当0x1时, f(x)min=f(1)=a-2.,f(x)=ax2-2x在0
11、,1上递减. 当0x1时, f(x)min=f(1)=a-2. 综上所述,当0x1时, f(x)min=,当a0时, f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x= 在y轴的 左侧,命题方向二 二次函数中恒成立问题 典例5 若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)若在区间-1,1上,不等式f(x)2x+m恒成立,求实数m的取值范围.,解析 (1)由f(0)=1得c=1, f(x)=ax2+bx+1. 又f(x+1)-f(x)=2x, a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
12、 即2ax+a+b=2x, 解得 f(x)=x2-x+1.,即x2-3x+1-m0,(2)f(x)2x+m等价于x2-x+12x+m,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立,只需函数g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上的最小值大于0.,g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上单调递减, g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-10得m-1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(-,-1).,规律总结 二次函数的区间最值问题一般有三种情况:(1)对称轴、区间都是给定 的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变动.解决这类问题的思 想
13、是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点和中点, 一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的单调性及分类讨论思想求解.对于(2)(3),通常要分对称轴在区间内、对称轴在区间外两大类情况进 行讨论.,3-1 已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3(a0)在区间 上的最大值为1,求 实数a的值.,解析 令f =1,解得a=- , 则x= =- ,故f(x)的最大值不可能在x=- 处取得. 令f(2)=1,解得a= , 则x= =- ,故当a= 时,f(x)在x=2时取得最大值1.,令f =1,解得a= . f(x)在x= 处取得最大值, 则a0且x , a= . 综上所述,a= 或a= .,
