1、第六节 对数与对数函数,1.对数的概念,2.对数的性质与运算法则,3.对数函数的图象与性质,4.反函数,教材研读,考点一 对数式的化简与求值,考点二 对数函数的图象与性质,考点三 对数函数的应用,考点突破,1.对数的概念 (1)对数的定义 一般地,如果 ax=N(a0且a1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,记 作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.,教材研读,(2)几种常见对数,2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质= N ;logaaN= N (a0且a1). (2)对数的重要公式 换底公式: logbN = (a,b均大于0且不等于1); 相关结论:loga
2、b= ,logablogbclogcd= logad (a,b,c均大于0且不等 于1,d大于0).,(3)对数的运算法则 如果a0且a1,M0,N0,那么 loga(MN)= logaM+logaN ; loga = logaM-logaN ; logaMn= nlogaM (nR); lo Mn= logaM(m,nR,且m0).,3.对数函数的图象与性质,4.反函数 指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数 y=logax (a0,且a1)互为 反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.,1.(2018北京通州一模,4)设a=lo ,b=log3 ,c= ,那么 ( D ) A.cba
3、 B.cab C.abc D.acb,解析 b=-log32log33=1,故选D.,2. +log2 = ( B ),A.2 B.2-2log23 C.-2 D.2log23-2,解析 +log2 = -log23=2-2log23,选B.,3.(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361, 而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最 接近的是(参考数据:lg 30.48) ( D ) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093,解析 设 = =t(t0),3361=t1080,361lg 3=lg t+80,3610.4
4、8 =lg t+80,lg t=173.28-80=93.28,t=1093.28.故选D.,4.函数y=lg|x| ( B ) A.是偶函数,在区间(-,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间(-,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+)上单调递减 D.是奇函数,在区间(0,+)上单调递增,解析 y=lg|x|是偶函数,由图象知在(-,0)上单调递减,在(0,+)上 单调递增.,5.(2017北京海淀期中)计算lg 2-lg +3lg 5= .,解析 lg 2-lg +3lg 5=3lg 2+3lg 5=3lg 10=3.,答案 3,6.(2016北京顺义模拟)已知函数f(x)=log2
5、x.若a=4b,则f(a)-f(b)= .,答案 2,解析 f(x)=log2x,且a=4b, f(a)-f(b)=log2a-log2b=log2 =log24=2.,考点一 对数式的化简与求值 典例1 计算下列各式:,考点突破,(1)lg 14-2lg +lg 7-lg 18; (2) ; (3)(log32+log92)(log43+log83).,解析 (1)原式=lg(27)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(322)=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+ lg 7-2lg 3-lg 2=0. (2)原式= = = =,(3)原式= = = = .,规律总结 对数运算
6、的一般思路 (1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形 式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并. (2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的 运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.,1-1 (2019北京海淀高三期末,3)若lg a-2lg 2=1,则a= ( D ) A.4 B.10 C.20 D.40,1-2 (2019北京东城高三期末,8)地震里氏震级是地震强度大小的一种 度量.地震释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E =4.8+1.5M.已知两次地震里氏震级分别为8.0级和7.5级,若它们释放
7、的 能量分别为E1和E2,则 的值所在的区间为 ( B ) A.(1,2) B.(5,6) C.(7,8) D.(15,16),典例2 (1)已知a=log46,b=log40.2,c=log23,则这三个数的大小关系是( A ) A.cab B.acb C.abc D.bca (2)已知x1=lo 2,x2= ,x3满足 =log3x3,则 ( A ) A.x1x2x3 B.x1x3x2 C.x2x1x3 D.x3x1x2,考点二 对数函数的图象与性质,解析 (1)a=log46,b=log40.2, c=log23= = =2log43=log49, 960.2, log49log46lo
8、g40.2,cab. (2)由题意知x1=lo 2=-log321,因此,三者之间的大小关系为 x1x2x3.,方法技巧 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用 对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对 函数增减性的影响及真数必须为正的限制条件.,2-1 (2018北京顺义二模,6)若a=log3 ,b=log39.1,c=20.8,则a,b,c的大小关 系为 ( C ) A.abc B.bac C.acb D.cab,解析 a=log3 log39=2,0c=20.821,acb,故选C.,2-2 如图,点A,B在函数y=log2x+2的图象上
9、,点C在函数y=log2x的图象上, 若ABC为等边三角形,且直线BCy轴,设点A的坐标为(m,n),则m=( D ),A.2 B.3 C. D.,解析 由题图可知|BC|=2, ABC为等边三角形,且直线BCy轴,A(m,n), C(m+ ,n-1), 解得m= .故选D.,(1)若0f(1-2x)-f(x)1,求x的取值范围; (2)若g(x)是以2为周期的偶函数,且当0x1时,g(x)=f(x),求函数y=g(x) (x1,2)的最值.,典例3 已知函数f(x)=lg(x+1).,考点三 对数函数的应用,解析 (1)由 得-1x1.,由0lg(2-2x)-lg(x+1)=lg 1得1 1
10、0.,因为x+10,所以x+12-2x10x+10,- x . 由 得- x , 故x的取值范围为 .,(2)当x1,2时,2-x0,1, 因此y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=f(2-x)=lg(3-x). 易知g(x)在1,2上是减函数,g(x)min=g(2)=0,g(x)max=g(1)=lg 2.,规律总结 求与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤 (1)确定定义域; (2)弄清函数是由哪些简单初等函数复合而成的,将复合函数分解成简 单的初等函数; (3)分别确定这两个函数的单调区间; (4)若这两个函数同增或同减,则y=f(g(x)为增函数,若一增一减,则y= f(g(x)
11、为减函数,即同增异减.,3-1 已知函数f(x)=loga|x|在(0,+)上单调递增,则 ( B ) A.f(3)f(-2)f(1) B.f(1)f(-2)f(3) C.f(-2)f(1)f(3) D.f(3)f(1)f(-2),解析 因为f(x)=loga|x|在(0,+)上单调递增, 所以a1,f(1)f(2)f(3). 又函数f(x)=loga|x|为偶函数,所以f(2)=f(-2), 所以f(1)f(-2)f(3).,3-2 若函数f(x)=loga(ax2-x)(a0且a1)在3,4上为增函数,则实数a的 取值范围是 .,若00a ,与a 矛盾,不合题意.,解析 函数y=loga(ax2-x)可看作由函数y=logat和t=ax2-x复合而成.,答案 (1,+),若a1,则y=logat在(0,+)上单调递增,由题意知t=ax2-x在3,4上为增函 数,故 3,解得a .此时,在x3,4上,(ax2-x)min=a32-3,则应有a32- 30a ,又因为a1,所以a的取值范围是(1,+). 综上可知,a的取值范围是(1,+).,
