1、第八节 函数与方程,1.函数零点的定义,2.函数零点的判定(零点存在性定理),3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,4.二分法求函数f(x)零点近似值的步骤,教材研读,考点一 函数零点所在区间的判断,考点二 判数函数零点的个数,考点三 函数零点的应用,考点突破,1.函数零点的定义 (1)对于函数y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点函数y=f(x)有 零点 .,教材研读,2.函数零点的判定(零点存在性定理) 一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲
2、线,并 且有 f(a)f(b)0 ,那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存 在c(a,b),使得 f(c)=0 ,这个 c 也就是方程f(x)=0的根.我们 把这一结论称为零点存在性定理.,3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间a,b,验证 f(a)f(b)0 ,给定精确度. 第二步,求区间(a,b)的中点x1. 第三步,计算 f(x1) : (i)若 f(x1)=0 ,则x1就是函数的零点; (ii)若 f(a)f(x1)0 ,则令b=x1(此时零点x0(a,x1); (iii)若 f(x1)f
3、(b)0 ,则令a=x1(此时零点x0(x1,b). 第四步,判断是否达到精确度:若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则,重复第二、三、四步.,1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的 是 ( C ),解析 对于选项C,由图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是 相同的,故不能用二分法求解.,2.(2014北京,6,5分)已知函数f(x)= -log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的 区间是 ( C ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+),解析 f(1)=6-log21=60, f(2)=3-log22=20, f(3)=2-log
4、230, f(4)= - log24= -20,包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.,3.(2017北京西城一模,4)函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为 ( C ) A.0 B.1 C.2 D.3,解析 要求函数f(x)的零点个数,即求2x+log2|x|=0的根的个数,即求2x =lo |x|的根的个数,即求函数y=2x与y=lo |x|的图象的交点个数,如图所 示:,结合图象可知,函数f(x)有两个零点.,4.函数f(x)= 的所有零点的和等于 ( A ),A.1-2 B.1- C.1- D.1-,解析 当x0时,令f(x)=0,得x=1;当-2x0时,令f(x)=0,
5、得x=- 或x =- ,所以函数f(x)所有零点的和为1-2,故选A.,5.(2017北京朝阳一模)已知函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1,2)内,则 实数a的取值范围是 .,解析 易知该零点为变号零点, f(1)f(2)0,即-a(3-a)0, 解得0a3,故答案为(0,3).,答案 (0,3),6.(2016北京西城二模)设函数f(x)= 那么f = ; 若函数y=f(x)-k有且只有两个零点,则实数k的取值范围是 .,解析 由题意得f =f( )=log2 = . 函数y=f(x)-k有且仅有两个零点等价于方程f(x)=k有两个不等实根,即y= f(x)的图象与直线y=k有两
6、个不同的交点. 如图. 由图知,若要有两个交点,则k . 故k的取值范围是 .,答案 ;,考点一 函数零点所在区间的判断 典例1 (1)函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间是 ( B ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) (2)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别 位于区间 ( A ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-,a)和(a,b)内,考点突破,C.(b,c)和(c,+)内 D.(-,a)和(c,+)内,解析 (1)由题意得f (x)= +10在(0,+)上恒成立,所以函数f
7、(x)=log2x +x-2在(0,+)上单调递增,因为f(1)=-10,所以函数f(x)=log2x+ x-2的零点所在的区间为(1,2),故选B. (2)易知f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b).又a0, f(b)0,又函数f(x)是二次函数,且图象开口向上,故两个零点分别 在(a,b)和(b,c)内,故选A.,方法技巧 判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程看方程是否有根落在给定 区间上进行判断; (2)利用零点存在性定理进行判断; (3)画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间内是
8、否有交点来判断.,1-1 函数f(x)=ln x- 的零点所在的大致范围是 ( B ) A.(1,2) B.(2,3) C. 和(3,4) D.(4,+),解析 易知f(x)为增函数,由f(2)=ln 2-1 0,得f(2) f(3)0.故选B.,典例2 (1)(2017北京朝阳期中)已知函数f(x)= 则函数g(x)= f f(x)- 的零点个数是 ( B ) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)函数f(x)= 的零点个数是 3 .,考点二 判断函数零点的个数,解析 (1)作出函数f(x)的图象,如图:当x0时,由f(x)= 得x+1= ,即x= -1=- , 当x0时,由f(x)= 得l
9、og2x= ,即x= = .,由g(x)=f f(x)- =0得f f(x)= , 则f(x)=- 或f(x)= , 易得方程f(x)=- 有两个解,方程f(x)= 有一个解, 所以函数g(x)=f f(x)- 的零点个数是3.故选B.,(2)当x0时,作函数y=ln x和y=x2-2x的图象,如图,由图可知,当x0时,函数y=ln x和y=x2-2x的图象有两个交点,即函数f(x)有 2个零点; 当x0时,由f(x)=0得x=- . 综上,函数f(x)有3个零点.,方法技巧 函数零点个数的判断方法,2-1 函数f(x)= 的零点个数是 ( C ) A.0 B.1 C.2 D.3,解析 当-1
10、x1时,令f(x)=0,得x=-1;当x1时,令f(x)=0,得x=1,所以 函数f(x)的零点个数为2.故选C.,2-2 (2016北京海淀二模)函数f(x)=2x-2x的零点个数是 ( B ) A.1 B.2 C.3 D.4,解析 易知f(x)的一个零点为x=1,作出y=2x与y=2x的图象(如图),可知两函数图象还有另一个交点.故f(x)有2个零点.,典例3 (1)(2017北京海淀二模,12)已知函数f(x)= -2x,则f f(1)(填“”或“”);函数 f(x)在区间 上存在零点,则正整数 n= .,考点三 函数零点的应用,当a-1时,若f(x)=3有三个不等的实数根,且它们成等差
11、数列,则a=.,(2)(2017北京石景山一模,14)已知f(x)= 当a=1时, f(x)=3,则x= ;,解析 (1)当x0时,y= 单调递减,y=-2x单调递减,从而f(x)单调递减,所以 f f(1).因为f 0, f 0,所以函数f(x)的零点在区间 上,故正 整数n=2. (2)当a=1时, f(x)= 当x1时, f(x)=2- =3,答案 (1);2 (2)4 -,x+ =-1,该方程无解; 当x1时, f(x)=x- =3,解得x=4(x=-1不合题意,舍去). 综上可得x=4. =1+ 0,故函数在区间(a,0),(0,+)上单调递增, 设方程f(x)=3的三个根分别为x1
12、,x2,x3,且x1x2x3,结合a-1可知x2=-1,x3= 4,结合等差数列的性质可知x1=-6,2a- =3,a=- .,1.已知函数零点情况求参数范围的一般步骤及方法 (1)步骤:判断函数的单调性;利用零点存在性定理,得到参数所满足 的不等式(组);解不等式(组),即得参数的取值范围. (2)方法:常利用数形结合法.,方法技巧,2.借助函数零点比较大小的思路 要比较f(a)与f(b)的大小,通常先比较f(a), f(b)与0的大小.,3-1 (2017北京海淀一模,13)已知函数f(x)= 若关于x的方程 f(x+a)=0在(0,+)内有唯一实根,则实数a的最小值是 .,答案 -,解析
13、 作出函数y=f(x)的图象,如图所示: 方程f(x+a)=0在(0,+)内有唯一的实根, f(x)=0在(a,+)上有唯一的实根, 由f(x)的图象可知a的最小值为- .,3-2 (2018北京海淀期末)函数f(x)= 的最大值为 ; 若函数f(x)的图象与直线y=k(x-1)有且只有一个公共点,则实数k的取值 范围是 .,解析 函数f(x)的图象如图所示, f(x)的最大值为1,直线y=k(x-1)过定点 (1,0),令x(2-x)=k(x-1), 整理得-x2+(2-k)x+k=0, =(2-k)2+4k=4+k20, 直线y=k(x-1)与f(x)=x(2-x)的图象恒有两个交点,且一个交点在x=1右 侧,另一个在x=1左侧,由函数f(x)的图象可知,当k0时,直线y=k(x-1)与函 数f(x)的图象仅在x=1右侧有一个交点;,答案 1;0,+),当k0时,在(0,+)上,直线y=k(x-1)与函数f(x)的图象有两个交点,综上,实 数k的取值范围是0,+).,
