1、第九节 函数模型及其应用,1.几种常见的函数模型,2.三种增长型函数模型的图象与性质,教材研读,考点一 一次函数与二次函数模型,考点二 指数函数、对数函数模型,考点三 分段函数模型,考点突破,1.几种常见的函数模型,教材研读,2.三种增长型函数模型的图象与性质,1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是( A ),A.一次函数模型 B.幂函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型,解析 根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数 值的增量是均匀的,故为一次函数模型.,2.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种 细菌由1个繁殖成4
2、 096个需经过 ( C ) A.12小时 B.4小时 C.3小时 D.2小时,解析 设需经过t小时,由题意知24t=4 096,即16t=4 096,解得t=3.,3.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10% (相对进货价),则该家具的进货价是 ( D ) A.118元 B.105元 C.106元 D.108元,解析 设进货价为a元,由题意知132(1-10%)-a=10%a,解得a=108, 故选D.,4.(2017北京平谷零模,8)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间 内,他的这支股票先经历了5次涨停(每次上涨10%),又经历了5次跌停 (每次下跌10
3、%),则该股民购进的这支股票的盈亏情况(不考虑其他费 用)为 ( B ) A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况,解析 设该股民购进这支股票的价格为a元,则(1+10%)5(1-10%)5a=0.995aa. 所以该股民购进的这支股票略有亏损. 故选B.,5.为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资60万元 建了一个蔬菜加工基地.第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费 用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设f(n)表示前n(n N*)年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额),则 f(n)= (用n表示)
4、,此经销商从第 年开始盈利.,解析 f(n)=26n- -60=-n2+19n-60(nN*),设此经销商从第n 年开始盈利, 则 即,答案 -n2+19n-60(nN*);5,解得 n=5.,考点一 一次函数与二次函数模型 典例1 牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际 蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增 长量y只与实际蓄养量x只和空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k0). (1)写出y关于x的函数关系式; (2)求羊群年增长量的最大值; (3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.,考点突破,解析 (1)根据题意,由于最大蓄养量为m只,
5、实际蓄养量为x只,则蓄养率 为 ,故空闲率为1- ,由此可得y=kx (0xm). (2)对原二次函数配方, 得y=- (x2-mx)=- + . 故当x= 时,y取得最大值 . (3)由题意知,为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长 量的和小于最大蓄养量,所以0x+ym.,因为当x= 时,ymax= , 所以00,所以0k2.,易错警示 一次函数与二次函数模型问题的3个注意点 (1)二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定 要注意函数的定义域,否则极易出错; (2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; (3)解决函数应用问题时,最后要还原
6、到实际问题.,1-1 稿酬所得以个人每次取得的收入,定额或定率减除规定费用后的 余额为应纳税所得额.每次收入不超过4 000元的,定额减除费用800元; 每次收入在4 000元以上的,定率减除20%的费用.适用20%的比例税率, 并按规定对应纳税额减征30%,计算公式为:,每次收入不超过4 000元的:应纳税额=(每次收入额-800)20%(1-30%);,每次收入在4 000元以上的:应纳税额=每次收入额(1-20%)20%(1- 30%). 已知某人出版一份书稿,共纳税280元,则这个人应得稿费(扣税前)为 元.,解析 设这个人应得稿费(扣税前)为x元.,答案 2 800,当x4 000时
7、,纳税额=(x-800)20%(1-30%)=280,解得x=2 800.,当x4 000时,纳税额=x(1-20%)(1-30%)20%=280,解得x=2 500(舍去). 综上,x=2 800. 故这个人应得稿费(扣税前)为2 800元.,典例2 (1)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足 函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是 ( ) A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时,考点二 指数函数、对数函数模型,(2)(201
8、6北京西城期末)某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(恒 温,单位:)满足函数关系t= 且该食品在4 的保鲜时间是16 小时. 该食品在8 的保鲜时间是 小时; 已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的 室外温度随时间变化如图所示,那么到了此日13时,甲所购买的食品是 否过了保鲜时间 .(填“是”或“否”),答案 (1)C (2)4 是,解析 (1)由已知得192=eb, 48=e22k+b=e22keb, 将代入得e22k= ,则e11k= , 当x=33时,y=e33k+b=e33keb= 192=24,所以该食品在33 的保鲜时间是 24小时.故选C.,(2
9、)食品在4 的保鲜时间是16小时,24k+6=16,解得k=- .t(8)=2-4+6 =4.,由题图可知在12时时,温度为12 ,此时该食品的保鲜时间为2-6+6=20= 1小时. 到13时,该食品已过保鲜时间.,方法技巧 一般地,涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都可以考 虑用指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化,指数函 数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.,2-1 里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震 曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震 仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.
10、001,则此次地震的 震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.,答案 6;10 000,解析 由题意知,A=1 000=103,A0=0.001=10-3, 则M=lg 103-lg 10-3=3-(-3)=6. 设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A9,A5,则lg A9-9=lg A5-5, 得lg A9-lg A5=4,即lg =4, =10 000.,2-2 (2018北京东城二模,14)某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L)与t 的函数关系为M(t)=art+24(a,r为常数).在t=0 min和t=1 min时,测得该物 质的浓度分别为124 mg/L和6
11、4 mg/L,那么在t=4 min时,该物质的浓度为 mg/L;若该物质的浓度小于24.001 mg/L,则最小的整数t的值为 . (参考数据:lg 20.301 0),解析 t=0时,M=124,即a+24=124,解得a=100; t=1时,M=64,即ar+24=64,r= ,即M(t)=100 +24, 将t=4代入得M(4)=26.56. 由题意得100 +2424.001,即100 0.001,即 10-5,答案 26.56;13,两边同时取以10为底的对数得tlg -5, t(lg 2-lg 5)-5,tlg 2-(1-lg 2)-5,t(2lg 2-1) ,tmin=13. 解
12、题思路 先由已知条件求出M(t)=art+24的解析式,易得第一个空的答 案,第二个空的难度主要是解对数不等式.解不等式时要注意lg 0,否则 非常容易出错.,典例3 某医药研究所研发的一种新药,成年人按规定的剂量服用后,据 监测,服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:小时)之 间近似满足如图所示的曲线.,考点三 分段函数模型,(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式; (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于1微克时,治疗有效.问:服药多少小时后开始有治疗效果?治疗效果能持续多少小时?(结果精确到0.1,参考数据:lg 20.301),解析 (1)根据题中图象知,
13、当0t1时,y=4t; 当t1时,y=a0.8t,由t=1时,y=4得4=a0.8,所以a=5,即y=50.8t. 因此y= (2)根据题意,由4t1(0t1),得0.25t1,由50.8t1(t1),得0.8t0.2, 所以1t = = 7.21.所以0.25t7.21,又7.21-0.25=6.967.0, 所以服药0.25小时(即15分钟)后开始有治疗效果,治疗效果能持续7.0小时.,1.很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需 要构建分段函数模型,如出租车的收费与路程的关系.,2.求函数最值常利用基本不等式、导数、函数的单调性等.在求分段函 数的最值时,应先求每一段上
14、的最值,然后比较得最大值、最小值.,方法技巧,3-1 国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下, 飞机票每张收费900元;若每团人数大于30,则给予优惠:每多1人,机票每 张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空 公司包机费15 000元. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?,解析 (1)设旅行团人数为x,由题意得0x75(xN*),飞机票价格为y元, 则y= (xN*), 即y= (xN*). (2)设旅行社获利S元, 则S= (xN*),即S= (xN*). 因为S=900x-15 000在区间(0,30上为增函数,所以当x=30时,S取最大值 12 000元, 又S=-10(x-60)2+21 000的定义域为(30,75, 所以当x=60时,S取得最大值21 000元. 故当x=60时,旅行社可获得最大利润.,
