1、1综合测试卷(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分)1.设 i为虚数单位,复数 z满足 =1-i,则复数 z=( )1+izA.2i B.-2i C.i D.-i答案 C解析 =1-i,1+izz= =i.1+i1-i= (1+i)2(1-i)(1+i)=2i2故选 C.2.若集合 A=x|log2(2x+1)S1 008S1 007,则满足 SnSn-10,即 a10080.由 S1006S1008,得 S1008-S10060,20152a10082S2014=2014(a1+a2014)2= f(x)成立,则( )A.3f(ln
2、2)2f(ln 3)B.3f(ln 2)=2f(ln 3)C.3f(ln 2)f(x),所以 g(x)0,即 g(x)在 R上单调递增 .又 ln20,b0)的左焦点为 F,右顶点为 A,虚轴的一个端点为 B.若 ABF为等腰x2a2-y2b2三角形,则该双曲线的离心率为 . 答案 1+ 3解析 由题意,得 F(-c,0),A(a,0).不妨设 B(0,b),则 |BF|= c,|AF|=a+cc,|AB|= =c.b2+c2 a2+b2因为 ABF为等腰三角形,所以只能是 |AF|=|BF|,即 a+c= ,b2+c2整理,得 c2-2a2-2ac=0,8即 e2-2e-2=0,解得 e=1
3、+ (舍去负值) .315.设 C满足约束条件 若目标函数 z=ax+by(a0,b0)的最大值为 12,则 的3x-y-6 0,x-y+2 0,x 0,y 0, 2a+3b最小值为 . 答案256解析 根据约束条件绘制可行域,如图所示 .将 z=ax+by转化为 y=- x+ ,ab zba 0,b0, 直线 y=- x+ 的斜率为负,最大截距对应最大的 z值,易知点 A为最大值点 .ab zb联立方程组 3x-y-6=0,x-y+2=0,解得 即 A(4,6).x=4,y=6, 目标函数 z=ax+by的最大值为 12, 12=4a+6b,即 =1,2a+3b6 +2 ,2a+3b=2a+
4、3b6 (2a+3b)=136+ba+ab 136 baab=256当且仅当 ,且 =1,ba=ab 2a+3b6即 a=b= 时取等号 .6516.已知点 A(0,3),若圆 C:(x-a)2+(x-2a+4)2=1上存在点 M,使 |MA|=2|MO|,则圆心 C的横坐标 a的取值范围为 . 答案 0,1259解析 由圆 C:(x-a)2+(x-2a+4)2=1,可知圆心 C(a,2a-4).设 M(x,y),|MA|= 2|MO|, =2 ,x2+(y-3)2 x2+y2得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4. 点 M在以 D(0,-1)为圆心,以 2为半径的圆 D上
5、. 圆 C与圆 D有公共点, 2-1 CD2 +1,即 1 3,a2+(2a-3)2即 5a2-12a+8 0,5a2-12a 0, 解得 0 a .125三、解答题(本大题共 6小题,共 70分)17.(12分)(2018 山东烟台适应性练习)在 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 c=bcos A+asin B.(1)求角 B的度数;(2)若 D为 BC上的一点, BD=1,cos CDA= ,求 ABD的面积 .35解 (1)因为 c=bcosA+asinB,所以由正弦定理,得 sinC=sinBcosA+sinAsinB.又 sinC=sin(A+B)=sinAc
6、osB+cosAsinB,所以 sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA+sinAsinB,化简得 tanB=1.又因为 0b0)的离心率 e= ,右焦点到直线 =1的距离 d= ,O为坐标原x2a2+y2b2 12 xa+yb 217点 .(1)求椭圆 C的方程;(2)过点 O作两条互相垂直的射线,与椭圆 C分别交于 A,B两点,证明:点 O到直线 AB的距离为定值,并求弦 AB长度的最小值 .解 (1)由 e= ,得 ,即 a=2c,故 b= c.12 ca=12 3由右焦点到直线 =1的距离为 d= ,xa+yb 217得 ,|bc-ab|a2+b2= 217解得 a=2,b
7、= .3所以椭圆 C的方程为 =1.x24+y23(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB的方程为 y=kx+m,联立直线 AB:y=kx+m与椭圆 =1,x24+y23消去 y得 3x2+4(k2x2+2kmx+m2)-12=0,化简得(3 +4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.14则 x1+x2=- ,x1x2= .8km3+4k2 4m2-123+4k2OA OB,x 1x2+y1y2=0.x 1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,即( k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, (k2+1) +m2=0,4m2-123+4k2- 8k2m23+4k2整
8、理得 7m2=12(k2+1). 点 O到直线 AB的距离 d= 为定值 .|m|k2+1= 127=2217OA OB,OA 2+OB2=AB22 OAOB.当且仅当 OA=OB时取“ =”号 .由 dAB=OAOB得 dAB=OAOB ,AB22AB 2 d= ,4217即弦 AB的长度的最小值是 .421721.(12分)设函数 f(x)=-2x2+ax-ln x(aR), g(x)= +3.exex(1)若函数 f(x)在定义域内单调递减,求实数 a的取值范围;(2)若对任意 x(0,e),都有唯一的 x0e -4,e,使得 g(x)=f(x0)+2 成立,求实数 a的取值范围 .x2
9、0解 (1)f (x)= ,且 f(x)在定义域内单调递减,-4x2+ax-1xf (x)0 在(0, + )内恒成立,即 4x2-ax+10 在(0, + )内恒成立 .=a 2-4410,即 -4 a4;15或 即 a0,a83,g (x)的值域为(3,4 .记 h(x)=f(x)+2x2=ax-lnx,m=g(x),原问题等价于 m(3,4,存在唯一的 x0e -4,e,使得 h(x0)=m成立 .h (x)=a- ,xe -4,e.1x=ax-1x 当 a 时, h(x)0 恒成立, h(x)单调递减,1e由 h(x)max=h(e-4)=ae-4+44, h(x)min=h(e)=a
10、e-13,解得 0 a ;1e 当 ae 4时, h(x)0 恒成立, h(x)单调递增,h(x)min=h(e-4)=ae-4+44,不符合题意,舍去; 当 4,h(e)=ae-1,要满足条件,则 ae-13,故 0,得 |2cos- sin| 1.故1|PM|+ 1|PN|= 1|t1|+ 1|t2|=|t1+t2|t1t2|=4|2cos- sin| (4,4 .5选修 45:不等式选讲23.(10分)(2018 全国 ,文 23)设函数 f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当 a=1时,求不等式 f(x)0 的解集;(2)若 f(x)1,求 a的取值范围 .解 (1)当 a=1时, f(x)=2x+4,x -1,2,-12.可得 f(x)0 的解集为 x|-2 x3 .(2)f(x)1 等价于 |x+a|+|x-2|4 .而 |x+a|+|x-2| |a+2|,且当 x=2时等号成立 .故 f(x)1 等价于 |a+2|4 .由 |a+2|4 可得 a -6或 a2 .所以 a的取值范围是( - ,-62, + ).17
