1、1第 2 讲 大题考法统计与概率考向一 统计与概率的综合问题【典例】 (2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10,15) 15,20) 20,25)天数 2 16 36最高气温 25
2、,30) 30,35) 35,40)天数 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估 计 六 月 份 这 种 酸 奶 一 天 的 需 求 量 不 超 过300瓶 的 概 率 .(2)设六月份一天销售这种 (单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货酸 奶 的 利 润 为 Y量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率审题指导看到表格，想到表中最高气温与天数的对应关系看到估计概率，想到频率与概率的关系可得估计值看到酸奶的利润，想到进货成本与售价，注意条件中未售出的酸奶要当天全部降价处理2规范解答 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且
3、仅当最高气温低于 25，2 分由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 0.6， 4 分2 16 3690所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. 5 分(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则Y64504450900 ； 6 分若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002(450300)4450300 ； 7 分若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450100 . 8 分所以 Y 的所有可能值为 900,300，100. 10 分Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的
4、频率为0.8， 11 分36 25 7 490因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 12 分处注意结合题意将需求量不超过 300 瓶转化为最高气温的关系问题，再利用频率估计概率，易不理解题意失误处注意结合气温区间及需求量的关系，计算出 Y 值，易忽视卖不完的要降价3处理技法总结 求解决概率与统计综合问题的一般步骤变式提升1(2018山西一模)某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 1 kg 的包裹收费 10 元；重量超过 1 kg 的包裹，除 1 kg 收费 10 元之外，超过 1 kg 的部分，每超出 1 kg(不足 1 kg，按 1 kg 计算)需再收 5 元该公司对近 60 天
5、，每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围 0100 101200 201300 301400 401500包裹件数(近似处理) 50 150 250 350 450天数 6 6 30 12 6(1)某人打算将 A(0.3 kg)， B(1.8 kg)， C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过 30 元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取 5 元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用前台工作人员每人每天揽件不超过 150 件，工资 100 元，目前前台有工作人员 3 人，那么，公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润是否更有利？解 (
6、1)由题意，寄出方式有以下三种可能：第一包裹 第二包裹情况礼物重量(kg)快递费(元)礼物重量(kg)快递费(元)甲支付的总快递费1 A 0.3 10 B， C 3.3 25 352 B 1.8 15 A， C 1.8 15 303 C 1.5 15 A， B 2.1 20 35所有 3 种可能中，有 1 种可能快递费未超过 30 元，根据古典概型概率计算公式，所示概率为 13(2)将题目中的天数转化为频率，得4包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数(近似处理) 50 150 250 350 450天数 6 6 30 12 6频率 0.1 0.1 0.5
7、0.2 0.1若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数(近似处理) 50 150 250 350 450实际揽件数 50 150 250 350 450频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1平均揽件数500.11500.12500.53500.24500.1260故公司平均每日利润的期望值为260531001 000(元)；若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数(近似处理) 50 150 250 350 450实际揽件数 50 150 250 300 300频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1平均揽件
8、数500.11500.12500.53000.23000.1235故公司平均每日利润的期望值为 23552100975(元)故公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利考向二 回归分析与统计的交汇问题【典例】 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图附注：年份代码 17 分别对应年份 200820145(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01)，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量参考数据： i9.32， iyi40.17, 0.55， 2
9、.6467i 1y7i 1t7i 1 yi y 27参考公式：相关系数 r ，回归方程 t 中斜率ni 1 ti t yi y ni 1 ti t 2ni 1 yi y 2 ya b 和截距的最小二乘估计公式分别为 ， b ni 1 ti t yi y ni 1 ti t 2 ay b t 解 (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 4，t (ti )228, 0.55，7i 1 t 7i 1 yi y 2(ti )(yi ) iyi i40.1749.322.89，7i 1 t y 7i 1t t 7i 1y所以 r 0.992.890.5522.646因为 y 与 t 的相关系数近似为
10、 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系(2)由 1.331 及(1)得y 9.327 0.103b 7i 1 ti t yi y 7i 1 ti t 2 2.8928 1.3310.10340.92a y b t 所以 y 关于 t 的回归方程为 0.920.10 ty 将 2016 年对应的 t9 代入回归方程得60.920.1091.82y 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量约为 1.82 亿吨技法总结 破解回归分析问题的关键(1)会依据表格及公式 ， 求线性回归方程中的参数的值，b ni 1xiyi nx y ni
11、1x2i nx 2 ay b x 注意不要代错公式(2)已知变量的某个值去预测相应预报变量时，只需把该值代入回归方程 x 中y b a 变式提升2(2018龙岩二模)2017 年 5 月， “一带一路”沿线的 20 国青年评选出了中国“新四大发明”：高铁、支付宝、共享单车和网购.2017 年末， “支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用. 某商家统计前 5 名顾客扫描红包所得金额分别为 5.5 元，2.1 元，3.3元，5.9 元，4.7 元，商家从这 5 名顾客中随机抽取 3 人赠送台历(1)求获得台历是三人中至少有一人的红包超过 5 元的概率；(2)统计一周内每天使用支付宝付款的人数
12、 x 与商家每天的净利润 y 元，得到 7 组数据，如表所示，并作出了散点图x 12 16 26 29 25 22 30y 60 100 150 270 240 210 330直接根据散点图判断， y a bx 与 ye c dx哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型( a， b， c， d 的值取整数)根据的判断，建立 y 关于 x 的回归方程，并估计使用支付宝付款的人数增加到 35时，商家当天的净利润参考数据：7x y (xi )27i 1 x (xi )(yi )7i 1 x y 22.86 194.29 268.86 3 484.29附：对于一组数据( u1， v1)，( u2， v
13、2)，( un， vn)，其回归直线 v u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ni 1 ui u vi v ni 1 ui u 2 av u 解 (1)记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过 5 元”为事件 M,5 名顾客中红包超过 5 元的两人分别记为 A1， A2，不足 5 元的三人分别记为 B1， B2， B3，从这 5 名顾客中随机抽取 3 人，共有抽取情况如下：A1A2B1， A1A2B2， A1A2B3， A1B1B2， A1B1B3， A1B2B3， A2B1B2， A2B1B3， A2B2B3， B1B2B3，共 10 种其中至少有一人的红包超过 5 元的是前 9
14、种情况，所以 P(M) 910(2)根据散点图可判断，选择 y a bx 作为每天的净利润的回归方程类型比较适合由最小二乘法求得系数 13，b 7i 1 xi x yi y 7i 1 xi x 2 3 484.29268.86所以 194.291322.86103，a y b x 所以 y 关于 x 的回归方程为 10313 xy 当 x35 时，商家当天的净利润 y352 元，故使用支付宝付款的人数增加到 35 时，预计商家当天的净利润为 352 元考向三 独立性检验与概率、统计的交汇问题【典例】 (2017全国卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 1
15、00 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：8(1)记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，估计 A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量50 kg 箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较附：P(K2 k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828，K2 n ad bc 2 a b c d a c b d解 (1)旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为(0.0120.0140.0240.0340.
16、040)50.62因此，事件 A 的概率估计值为 0.62(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50 kg 箱产量50 kg9旧养殖法 62 38新养殖法 34 66K2的观测值 15.705200 6266 3438 210010096104由于 15.7056.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在 50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在 45 kg 到 50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且
17、稳定，从而新养殖法优于旧养殖法技法总结 独立性检验问题的解题步骤(1)假设两个分类变量 X 与 Y 无关系；(2)找相关数据，列出 22 列联表；(3)由公式 K2 (其中 n a b c d)计算出 K2n ad bc 2 a b c d a c b d的观测值；(4)将 K2的观测值与临界值进行对比，进而得出统计推断，这些临界值，在考题中常会附在题后变式提升3(2018六安二模)以“你我中国梦，全民建小康”为主题“社会主义核心价值观”为主线，为了解 A、 B 两个地区的观众对 2018 年韩国平昌冬奥会准备工作的满意程度，对A、 B 地区的 100 名观众进行统计，统计结果如下：非常满意
18、满意 合计A 30 yB x z合计在被调查的全体观众中随机抽取 1 名“非常满意”的人是 B 地区的概率为 0.45，且3z2 y(1)现从 100 名观众中用分层抽样的方法抽取 20 名进行问卷调查，则应抽取“满意”的 A、 B 地区的人数各是多少？(2)在(1)抽取的“满意”的观众中，随机选出 3 人进行座谈，求至少有两名是 A 地区观众的概率？(3)完成上述表格，并根据表格判断是否有 95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系？10附：P(K2 k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K2n ad bc 2 a b c d a c b d解
19、(1)由题意，得 0.45， x45， y z25，x100因为 3z2 y，所以 y15， z10则应抽取 A 地区的“满意”观众 153，抽取 B 地区的“满意”观众2010010220100(2)所抽取的 A 地区的“满意”观众记为 a， b， c，所抽取的 B 地区的“满意”观众记为 1,2则随机选出三人的不同选法有( a， b,1)，( a， b,2)，( a， c,1)，( a， c,2)，( b， c,1)，(b， c,2)，( a， b， c)，( a,1,2)，( b,1,2)，( c,1,2), 共 10 个结果至少有两名是 A 地区的结果有 7 个，其概率为 710(3)非常满意 满意 合计A 30 15 45B 45 10 55合计 75 25 100由表格 K2 3.0303.841，所以没有 95%的100 3010 4515 275254555 10033把握认为观众的满意程度与所在地区有关系11
