1、第二章 二次根式,2.7 二次根式,第1课时 二次根式及其性质,1,课堂讲解,二次根式的定义 二次根式的性质 最简二次根式,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,观察下列代数式：可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的 共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负 数.,1,知识点,二次根式的定义,知1讲,形如 (a0)的式子叫做二次根式其中a为整式或分式，a叫做被开方式 特点：都是形如 的式子，a都是非负数.,知1讲,例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由,导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别 解：(1)不是理由
2、：因为 的根指数是3，所以 不是二次根式(2)是理由：因为不论x为何值，都有x210，且的根指数为2，所以 是二次根式,知1讲,(3)不一定是理由：当5a0，即a0时， 是二次根式；当a0时，5a0，则 不是二次根式所以 不一定是二次根式(4)不是理由： (a0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式,（来自点拨）,知1讲,(5)不一定是理由：当a4，即a40时， 是二次根式；当a4时，(a4)20，所以 不是二次根式所以不一定是二次根式 (6)是理由：因为x22x2x22x11(x1)210，且的根指数为2，所以 是二次根式 (7)是理由：因为|x|0，且 的根指数为2，所以 是二次
3、根式,（来自点拨）,总 结,知1讲,（来自点拨）,二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根 式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是 否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数,知1讲,例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数 解：(1)欲使 有意义，则必有2x60且x50，所以x3且 x5.(2)欲使 有意义，则必有x20且5x0，所以2x5.,（来自点拨）,总 结,知1讲,求式子有意义时字母的取值范围的方法： 第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式只需满足
4、被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数；对于零指数，则必须满足底数不能为零 第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等关系第三步，由不等关系得出字母的取值范围,1,下列式子一定是二次根式的是( )(中考武汉)若代数式 在实数范围内有意义， 则x的取值范围是( ) Ax2 Bx2 Cx2 Dx2,知1练,（来自典中点）,2,C,C,2,知识点,二次根式的性质,知2导,做一做 （1）计算下列各式，你能得到什么猜想？（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.,知识点,知2讲,二次根式的性质：积的算术平方根，等于_;商
5、的算术平方根，等于_;,算术平方根的积,算术平方根的商,知识点,知2讲,例3 化简：,（来自教材）,解：,知识点,知2讲,例4 易错题化简： 导引：应用积的算术平方根性质的前提是乘积的算术平方根，如不是，则需将它们转化为积的形式，其次是每个因数(式)必须是非负数(1)(2)中被开方数为数，(3)(4)中被开方数是含有字母的单项式，都可利用 进行化简,知识点,知2讲,解：,（来自点拨）,知识点,知2讲,商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则； (2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负数，除式是正数； (3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根
6、式，将分母中的根号化去,知识点,知2讲,分母有理化 (1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化； (2)依据：分式的基本性质及 (a0)； (3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式,1,(中考荆门)当1a2时，代数式 的值是( ) A1 B1 C2a3 D32a,知2练,（来自典中点）,B,下列结果正确的有( )A1个 B2个 C3个 D4个,知2练,（来自典中点）,2,C,3,知识点,最简二次根式,知3讲,1.定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式 最简二次根式必须满足：(1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数(式)；(
7、2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因数(式)的指数都是1.,知识点,知3讲,2将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：(1) “一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；(2) “二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；(3)“三化”，即将分母有理化化去被开方数中的分母注意：(1)分母中含有根式的式子不是最简二次根式；(2)去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外；(3)去根号后漏掉括号,知识点,知3讲,例5 下列各式中，哪些
8、是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母(2)是最简二次根式(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)(4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，422.(5)不是最简二次根式，因为x36x29xx(x26x9)x(x 3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式(6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式,（来自点拨）,总 结,知3讲,（来自点拨）,判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：利用 最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断： (1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整
9、数(式)； (2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2；另外还要具备分母中不含二次根式的条件,知识点,知3讲,例6 化简：,（来自点拨）,若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简,解：,导引：,总 结,知3讲,（来自点拨）,被开方数是数的二次根式的化简技巧： (1)当被开方数是整数时，应先将它分解因数； (2)当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化成分数或带分数化成假分数的形式； (3)当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这个和差的结果求出,1,(中考淮安)下列式子为最简二次根式的是( )在下列根式中，不是最简二次根式的是( ),知3练,（来自典中点）,2,A,D,当a0时， 当a0时， 3.,
