1、知识点一 同底数幂的除法 同底数幂相除,底数不变,指数相减,即aman=am-n(a0,m,n是正整 数,mn).此运算性质的条件:同底数幂相除;结论:底数不变,指数相减. 注意:(1)因为0不能作除数,所以底数不能为0. (2)底数可以是一个数,也可以是单项式或多项式. (3)当三个或三个以上的同底数幂相除时,也具有这一性质,如amanap= am-n-p(a0,m,n,p是正整数且mn+p). (4)法则可以逆用,即am-n=aman(m,n为正整数,a0,mn).,例1 计算: (1)a12a3;(2)(-x)5x3;(3)a3nan; (4)x2m+3x2m-2;(5)(x-y)6(x
2、-y)3; (6)x10(x4x2).,分析 (1)(3)直接按法则计算;(2)先把(-x)5化为-x5,再计算;(4)指数是代数 式,相减时,应注意添括号;(5)底数是多项式,只要完全相同,仍按法则计 算;(6)先算括号内的,再算括号外的.,解析 (1)a12a3=a12-3=a9. (2)(-x)5x3=-(x5x3)=-x5-3=-x2. (3)a3nan=a3n-n=a2n. (4)x2m+3x2m-2=x2m+3-(2m-2)=x2m+3-2m+2=x5. (5)(x-y)6(x-y)3=(x-y)6-3=(x-y)3. (6)x10(x4x2)=x10x4-2=x10x2=x10-
3、2=x8.,知识点二 零指数幂和负整数指数幂 1.零指数幂 (1)零指数幂的意义:任何不等于0的数的0次幂都等于1,即a0=1(a0). (2)规定零指数幂意义的原因: 在计算amam(a0,m是正整数)时,一方面:根据除法的意义,可知amam=1; 另一方面:根据同底数幂除法的运算性质,可得amam=am-m=a0.于是规定: 任何不等于0的数的0次幂都等于1.,2.负整数指数幂 规定:a-n= (a0,n是正整数),即任何不等于0的数的-n(n是正整数)次 幂,等于这个数的n次幂的倒数. 注意:(1)零指数幂和负整数指数幂中,底数都不能为0. (2)规定了零指数幂和负整数指数幂的意义后,正
4、整数指数幂的运算性 质可以推广到整数指数幂.,例2 计算: (1)am+nam+n(a0);(2)5010-2; (3)(-10)2(-10)0+10-2100.,分析 (1)先按同底数幂的除法法则计算,再根据零指数幂的意义写出 结果;(2)由零指数幂和负整数指数幂的意义进行计算;(3)注意运算顺序.,解析 (1)am+nam+n=a(m+n)-(m+n)=a0=1. (2)5010-2=1 = . (3)(-10)2(-10)0+10-2100 =1001+ 1 =100+ =100 .,知识点三 用科学记数法表示绝对值小于1的非零小数 一个绝对值小于1的非零小数可以记作a10-n,其中1|
5、a|10,n是正整数. 这种记数方法是绝对值小于1的非零小数的科学记数法.在这种记数法 中,n等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零). 注意:(1)绝对值大于1的数的表示方法仍旧依照原来的法则表示为a10n (n是正整数,n的值比原数的整数位数小1); (2)科学记数法是一种记数方法,不改变此数的性质和大小,在用科学记 数法表示一个带有单位的数时,其表示结果也应带有单位.,例3 用科学记数法表示下列各数: (1)0.000 058; (2)-0.000 800 1; (3)0.000 000 017; (4)-0.000 000 037 05.,分析 这四个数都是绝
6、对值小于1的数,确定n的值后,注意原数的符号.,解析 (1)5.810-5.(2)-8.00110-4.(3)1.710-8.(4)-3.70510-8.,题型一 同底数幂的除法法则的逆向应用 例1 已知xm=8,xn=4,求xm-n的值.,分析 此题是同底数幂除法的逆用,解题关键是变形.xm-n=xmxn.,解析 xm-n=xmxn,因为xm=8,xn=4,所以原式=84=2.,解析 当幂的指数扩大到整数范围内后,有理数原有的运算顺序和各种 运算法则仍适用.10010-1=100-(-1)=101=10,故正确;10-4(27)0=10-41=10 -4= = 1 000,故错误;(-0.1
7、)0(-2-1)-3=1 =1(-8)=- 8, 故错误;(-10)-4(-10-1)-4= (-1)-4(10-1)-4= 104=0.000 110 000=0.000 000 01-1,故错误.因此,正确的个数为1.,答案 D,点拨 计算过程中要先根据幂的运算法则计算幂的结果,再进行乘除. 遇到负整数指数幂的运算时,先把底数化成其倒数,然后将负整数指数 变为正整数指数进行计算.,易错点一 忽略没有指数的字母的指数 例1 计算:(-a)3a. 错解 原式=-a3a=-a3. 错因分析 误以为a的指数为0,导致出错. 正解 (-a)3a=-a3a=-a3-1=-a2.,易错点二 忽略a0=1
8、有意义的前提条件造成错解或漏解 例2 若(a-1 的值为1,则a= .,错解 1或2,错因分析 (1)忽略了a0=1有意义的前提条件,a=1不合题意;(2)考虑不周 全,忽略了1的任意次方均为1.,正解 分两种情况考虑: (1)当a2-1=0时, 由a2-1=0且a-10得a=-1; (2)当a-1=1,即a=2时,原式= =13=1. 综上所述,a=-1或2.,知识点一 同底数幂的除法 1.下列算式正确的个数是 ( ) a8a4=a2;(-a)8(-a)4=a4;510510=0;a20a20=1(a0);a8a6a=a; a5mam=a5. A.5 B.4 C.3 D.2,答案 C 根据同
9、底数幂的除法法则可知正确.a8a4=a4;510 510=50=1;a5mam=a4m.,2.计算(a2)3(a2)2的结果是 ( ) A.a B.a2 C.a3 D.a4,答案 B (a2)3(a2)2=a6a4=a6-4=a2.,3.下列运算正确的是 ( ) A.(3xy2)2=6x2y4 B.2x-2= C.(-x)7(-x)2=-x5 D.(6xy2)23xy=2xy3,答案 C 因为(-x)7(-x)2=(-x)7-2=(-x)5=-x5,所以C正确.,4.已知xa=3,xb=5,则x4a-3b= ( ) A.-44 B. C. D.,答案 D xa=3,xb=5,x4a-3b=x4
10、ax3b=(xa)4(xb)3=3453=81125= .,5.计算:(1)m9m3;(2)(-a)6a3;(3)(-8)6(-8)5; (4) 6m.,解析 (1)m9m3=m9-3=m6. (2)(-a)6a3=a6a3=a3. (3)(-8)6(-8)5=(-8)6-5=(-8)1=-8. (4)62m+36m=6(2m+3)-m=6m+3.,6.计算下列各题: (1)(-xy)12(-xy)5; (2)(x-2y)4(2y-x)3; (3) .,解析 (1)(-xy)12(-xy)5=(-xy)12-5=(-xy)7=-x7y7. (2)(x-2y)4(2y-x)3=(2y-x)4(2
11、y-x)3=(2y-x)4-3=2y-x. (3) = = = = .,知识点二 零指数幂与负整数指数幂,7.下列计算正确的是 ( ) A.(-0.1)-2=100 B.-10-3= C. = D.2a-3=,答案 A (-0.1)-2= = =100,故选项A正确;-10-3=- ,故选项B 错误; = =25,故选项C错误;2a-3= ,故选项D错误.,8.下列运算正确的是 ( ) A.-2-2+(-3.14)0=5 B. = C.x2x3=x5 D.ab2+a2b=a3b3,答案 C -2-2+(-3.14)0=- +1= ,故A错误; = = ,故B错误;根 据同底数幂的乘法法则,知x
12、2x3=x5,故C正确;ab2与a2b不是同类项,不能合 并,故D错误.,9.若102a=25,则10-a等于 ( ) A. B.- C. D.,答案 A 根据负整数指数幂及幂的乘方法则进行计算即可. 102a=25=52, (10a)2=52, 10a=5(正数的任何次幂都是正数,故-5舍去), 10-a=5-1= .,10.计算(-2)0- -(-2)-3= .,答案 -2,解析 原式=1-4+ =-2 .,知识点三 用科学记数法表示绝对值小于1的非零小数,11.(2017山东济宁中考)某桑蚕丝的直径约为0.000 016米,将0.000 016用 科学记数法表示为 ( ) A.1.610
13、-4 B.1.610-5 C.1.610-7 D.1610-4,答案 B 绝对值小于1的非零小数也可以用科学记数法表示,一般形 式为a10-n(0|a|1),与绝对值大于1的数的科学记数法不同的是其所 使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的 个数所决定,所以0.000 016=1.610-5.,12.将用科学记数法表示的数-3.610-4写成小数是 ( ) A.0.000 36 B.-0.003 6 C.-0.000 36 D.-36 000,答案 C 指数是-4,说明数字“3”的前面有4个0,同时注意是负数.,13.用小数或分数表示下列各数: (1)4-32 0170
14、; (2)7.2910-3.,解析 (1)4-32 0170= 1= . (2)7.2910-3=7.29 =7.290.001=0.007 29.,14.用科学记数法表示下列各数: (1)某种细菌的长度约为0.000 010 054 m; (2)某种花粉的直径约为35微米,等于多少米?,解析 (1)0.000 010 054 m=1.005 410-5 m. (2)1米=1 000 000微米,则1微米=10-6米, 35微米=3.510-5米.,1.计算-1-(-1)0的结果是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.-2,答案 D 先计算出(-1)0的值,再根据有理数的减法法则进行运算.原式
15、 =-1-1=-2.,2.若(x-1)0-3(x-2)0有意义,那么x的取值范围是 ( ) A.x1 B.x2 C.x1或x2 D.x1且x2,答案 D 根据零指数幂的意义,知x-10和x-20同时成立,所以x1 且x2.,3.(2015四川凉山州中考)(-3.14)0的相反数是 ( ) A.3.14- B.0 C.1 D.-1,答案 D -3.140,(-3.14)0=1, (-3.14)0的相反数是-1.故选D.,4.(2015福建厦门中考)2-3可以表示为 ( ) A.2225 B.2522 C.2225 D.(-2)(-2)(-2),答案 A 2225=22-5=2-3,故A符合题意;
16、2522=23,故B不符合题意;2225= 27,故C不符合题意;(-2)(-2)(-2)=(-2)3,故D不符合题意.故选A.,5.计算 的结果是 ( ) A.-4 B.4 C.- D.,答案 B =(2-1)-2=2(-1)(-2)=22=4,故选B.,6.下列算式中正确的是 ( ) A.(y3)5y6=y2 B.(0.000 01)0=2 0130 C. = D.3.2410-5=-0.000 032 4,答案 B (y3)5y6=y15y6=y9,故A错误; (0.000 01)0=1,2 0130=1,(0.000 01)0=2 0130,故B正确;= = ,故C错误; 3.2410
17、-5=0.000 032 4,故D错误.,7.(2014天津中考)计算x5x2的结果等于 .,答案 x3,解析 根据同底数幂的除法法则,底数不变,指数相减,可得x5x2=x5-2=x3.,8.计算:107(103102)= .,答案 106,解析 107(103102)=10710=106.,9.若xm=5,xn=4,则xm-2n= .,答案,解析 xm=5,xn=4,xm-2n=xm(xn)2=516= .,1.如果xm=4,xn=8(m,n为自然数),那么x3m-n等于 ( ) A. B.4 C.8 D.56,答案 C x3m-n=x3mxn=(xm)3xn,将xm=4,xn=8代入得,原
18、式=438=8.故选C.,2.下列计算正确的是(算式中的所有字母均不为0) ( ) A.a3a3=1 B.x10x10=0 C.(x-y)6(x-y)3=(x-y)2 D.x2m+1xm-1=xm+3,答案 A A项,a3a3=a3-3=a0=1,正确;B项,x10x10=x10-10=x0=1,错误;C项,(x -y)6(x-y)3=(x-y)6-3=(x-y)3,错误;D项,x2m+1xm-1=x2m+1-m+1=xm+2,错误.故选A.,3.一种数码照片的文件大小是28 K,一个存储量为26 M(1 M=210 K)的移 动存储器能存 张这样的数码照片.,答案 256,解析 由题意知,该
19、移动设备能存的数码照片张数为2621028=26+10-8=28= 256.,4.(1)若32n+1=1,则n= ; (2)若3x= ,则x= .,答案 (1)- (2)-3,解析 (1)由32n+1=1可得32n+1=30,则2n+1=0,解得n=- . (2)由3x= 可得3x=3-3,所以x=-3.,5.(2014河北中考)如图1-3-1,点O,A在数轴上表示的数分别是0,0.1.图1-3-1 将线段OA分成100等份,其分点由左向右依次为M1,M2,M99; 再将线段OM1分成100等份,其分点由左向右依次为N1,N2,N99; 继续将线段ON1分成100等份,其分点由左向右依次为P1
20、,P2,P99. 则点P37所表示的数用科学记数法表示为 .,答案 3.710-6,解析 将线段OA分成100等份,则OM1= =0.001,再将线段OM1分成100等份,则ON1= =0.000 01,再将线段ON1分成100等份,则OP1= =0.000 000 1,所以OP37=0.000 000 137=0.000 003 7,则点P37所表示的数用科学记数法可表示为3.710-6.,6.计算: (1)(-a)6(-a)3; (2)(-2bc)7(-2bc)5; (3)(-x)7(-x)3(-x)2; (4)(y-x)6(x-y)4.,解析 (1)原式=(-a)6-3=(-a)3=-a
21、3. (2)原式=(-2bc)7-5=(-2bc)2=4b2c2. (3)原式=(-x)7-3-2=(-x)2=x2. (4)原式=(x-y)6(x-y)4=(x-y)2.,7.已知32m=5,3n=10,求: (1)9m-n的值; (2)92m-n的值.,解析 (1)9m-n=(32)m-n=32m-2n=32m32n=5102= . (2)92m-n=(32)2m-n=(32m)2(3n)2=52102= .,1.若3x=4,9y=7,则3x-2y的值为 ( ) A. B. C.-3 D.,答案 A 3x=4,9y=7,3x-2y=3x32y=3x(32)y=3x9y=47= .,2.若8
22、=2x2,则 x= .,答案 4,解析 因为23=8,所以2x2=23,所以x-1=3,所以x=4.,3.根据里氏震级的定义,地震所释放的相对能量E与地震级数n的关系为 E=10n,那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的 倍.,答案 100,解析 因为9级地震所释放的相对能量为109,7级地震所释放的相对能 量为107,所以9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量 的109107=102=100(倍).,4.计算:(1)(a-2)14(2-a)5; (2)(-a-b)5(a+b); (3)x12x8x6-xm+6xm-4.,解析 (1)原式=(2-a)14(2-a)
23、5 =(2-a)14-5=(2-a)9. (2)原式=-(a+b)5(a+b)=-(a+b)4. (3)原式=x4x6-xm+6xm-4=x10-x10=0.,5.如果xm=5,xn=25,求x5m-2n的值.,解析 xm=5,xn=25, x5m-2n=(xm)5(xn)2=55252=5554=5.,一、选择题 1.(2018甘肃临泽二中期中,2,)PM2.5是指大气中直径小于或等于 0.000 002 5 m的颗粒物,将0.000 002 5用科学记数法表示为 ( ) A.0.2510-5 B.0.2510-6 C.2.510-5 D.2.510-6,答案 D,2.(2017江苏苏州木渎
24、实验中学二模,2,)下列计算正确的是 ( ) A.a6a2=a3 B.(-2)-1=2 C.(-3x2)2x3=-6x6 D.(-3)0=1,答案 D a6a2=a4,故A错误;(-2)-1=- ,故B错误;(-3x2)2x3=-6x5,故C错误; D正确.,二、解答题,3.(2018陕西咸阳公刘中学期中,15,)已知xa=2,xb=4,求x3a+b以及xa-3b 的值.,解析 xa=2,xb=4, x3a+b=x3axb=(xa)3xb=234=84=32. xa-3b=xax3b=xa(xb)3=243= .,4.(2016山东威海经济技术开发区期末,19,)计算:|-8|-2-1+2 0
25、150-2 2422.,解析 原式=8- +1-8= .,1.(2018江苏宜兴陶都中学第二次测试,1,)H7N9禽流感病毒的直 径大约为0.000 000 008 1米,用科学记数法表示为 ( ) A.0.8110-9米 B.0.8110-8米 C.8.110-9米 D.8.110-7米,答案 C,2.(2017江苏苏州立达中学二模,2,)下列运算正确的是 ( ) A.x4+x2=x6 B.x2x3=x6 C.x8x2=x4 D.(x2)3=x6,答案 D A.x4与x2不能合并同类项,B.x2x3=x5,C.x8x2=x6.,3.(2017山东单县启智学校导学案,3,)纳米是一种长度单位,
26、1纳米 =10-9米,已知某种植物花粉的直径约为350 000纳米,那么用科学记数法 表示该种花粉直径为 ( ) A.3.5104 m B.3.510-4 m C.3.510-5 m D.3.510-9 m,答案 B 350 000=3.5105,3.510510-9=3.510-4 m.,一、选择题 1.(2018湖南湘潭中考,6,)下列计算正确的是 ( ) A.x2+x3=x5 B.x2x3=x5 C.(-x2)3=x8 D.x6x2=x3,答案 B A.x2+x3,无法计算,故此选项错误;B.x2x3=x5,正确;C.(-x2)3=-x6, 故此选项错误;D.x6x2=x4,故此选项错误
27、.故选B.,2.(2018山东威海中考,5,)已知5x=3,5y=2,则52x-3y= ( ) A. B.1 C. D.,答案 D 5x=3,5y=2, 52x=32=9,53y=23=8, 52x-3y= = .,二、填空题,3.(2017山东烟台中考,13,)30 +|-2|= .,答案 6,解析 30 +|-2|=4+2=6.,4.(2017江苏常州中考,11,)肥皂泡的泡壁厚度大约是0.000 7 mm, 则数据0.000 7用科学记数法表示为 .,答案 710-4,1.(2018甘肃定西中考,3,)下列计算结果等于x3的是 ( ) A.x6x2 B.x4-x C.x+x2 D.x2x
28、,答案 D A.x6x2=x4,不符合题意; B.x4-x无法计算,不符合题意; C.x+x2无法计算,不符合题意; D.x2x=x3,符合题意.,2.(2017山东菏泽中考,2,)生物学家发现了一种病毒,其长度约为 0.000 000 32 mm,数据0.000 000 32用科学记数法表示正确的是 ( ) A.3.2107 B.3.2108 C.3.210-7 D.3.210-8,答案 C,3.(2016山东潍坊中考,1,)计算:202-3= ( ) A.- B. C.0 D.8,答案 B 202-3=1 = ,故选B.,4.(2015江苏常州中考,9,)计算:(-1)0+2-1= .,答
29、案,解析 (-1)0+2-1=1+ = .,1.(2017江苏苏州工业园期中)已知39m27m=317+m,求 (m3m2)的值.,解析 39m27m=317+m, 3(32)m(33)m=317+m, 332m33m=317+m,31+2m+3m=317+m, 1+5m=17+m,解得m=4. (-m2)3(m3m2)=-m6m5=-m6-5=-m=-4.,2.根据现有的知识,当已知10a=200,10b= 时,不能分别求出a和b的值,但 是小红却利用它们求出了4a22b的值,你知道她是怎样计算的吗?请写出 计算过程.,解析 4a22b=4a(22)b=4a4b=4a-b.由10a=200,
30、10b= ,得10a-b=10a10b=200 =1 000=103,所以a-b=3,所以4a-b=43=64,即4a22b=64.,1.已知4m+38m+124m+7=16,求m的值.,解析 4m+38m+124m+7=16, (22)m+3(23)m+124m+7=24, 即22m+623m+324m+7=24, 22m+6+3m+3-4m-7=24,2m+2=24,m+2=4,m=2.,2.(1)通过计算比较下列各式中两数的大小(填“”“(n+1)-n;当n 时,n-(n+1)(n+1)-n.,解析 (1)因为1-2=1,2-1= ,所以1-22-1; 因为2-3= ,3-2= , ,所以2-33-2; 因为3-4= ,4-3= , 2.,
