1、,知识点一 全等图形,例1 如果我们规定形状和大小相同的图形是好朋友,你能帮它们迅速 找到自己的好朋友吗?(如图4-2-1)图4-2-1,分析 判断两个图形是不是全等图形,取决于这两个图形能否完全重 合.全等图形的形状与大小是相同的.,解析 A与I;B与J;C与G;D与F;E与H.,知识点二 全等三角形 1.全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,重合 的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角. 2.表示方法:用符号“”来表示两个三角形全等.符号“”读作“全 等于”. 注意:(1)在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置 上,这样容易找出对应边
2、、对应角.,(2)寻找对应边和对应角的常用方法: 对应角:对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角; 有公共角,一定是对应角;有对顶角,一定是对应角;最大的角是对 应角,最小的角是对应角. 对应边:对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边是对应边; 有公共边,一定是对应边;最长的边是对应边,最短的边是对应边. 3.全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等,对应角相等.,如图4-2-2,由于ABCABC,所以A=A,B=B,C=C;AB =AB,AC=AC,BC=BC.图4-2-2 注意:(1)此性质是证明有关边、角的等量关系的重要依据. (2)由全等的定义还可得出全等三角形的周长
3、相等、面积相等这一隐含 性质.,例2 如图4-2-3所示,ABCDCB,指出所有的对应边和对应角.图4-2-3,分析 方法一:已知ABCDCB,故公共边BC和CB是对应边,它们所 对的A和D是对应角,最短边AB和DC是对应边,它们所对的ACB 和DBC是对应角,余下的一对边和一对角分别是对应边和对应角. 方法二:根据书写规范可知点A和点D,点B和点C,点C和点B是对应顶点, 两组对应顶点的夹边是对应边,对应边所对的角是对应角.,解析 AB与DC,AC与DB,BC与CB是对应边;ABC与DCB,A与 D,ACB与DBC是对应角.,题型 利用全等三角形的性质解决全等变换问题 例 如图4-2-4,将
4、长方形ABCD沿DE折叠,使点C恰好落在BA边上的点C处,若CEB=40,求EDC的度数.图4-2-4,分析 由于折叠前的DEC与折叠后的DEC完全重合,因此它们全 等,得到DEC=DEC,DCE=C=90.可先求出DEC的度数,再 求EDC的度数.,解析 由题意,得DECDEC, DEC=DEC,DCE=C=90. CEB+DEC+DEC=180,CEB=40, DEC= =70. 在DEC中,EDC=180-DCE-DEC=180-90-70=20.,点拨 平移、翻折、旋转都是图形的全等变换,利用任何一种全等变换 所得的新图形都与原图形全等,有了全等就可以利用相关的性质得到相 等的线段和相
5、等的角,进而解决与线段、角有关的计算和证明问题.一 定要明确全等变换的方法,找出新图形与原图形的对应关系,避免得到 错误的结论.,易错点 不能准确找出全等三角形的对应边和对应角 例 如图4-2-5,ABCCDA,AB和CD,BC和DA是对应边,请写出另 一组对应边和对应角.图4-2-5,错解 另一组对应边是AC和AC;对应角有BAC和DAC,B和D, BCA和ACD.,错因分析 没有弄清楚图形中哪些角是两个图形的对应角.,正解 另一组对应边是AC和AC;对应角为BAC和ACD,B和D, BCA和DAC.,知识点一 全等图形 1.对于两个图形,给出下列说法:两个图形的周长相等;两个图形的 面积相
6、等;两个图形的周长和面积都相等;两个图形的形状相同,大 小也相等.其中能得到这两个图形全等的说法共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 A 周长相等的两个图形不一定重合,所以不一定全等;如果 面积相同而形状不同也不全等;如果周长相同面积相同而形状不同, 则不全等;两个图形的形状相同,大小也相等,则二者一定完全重合,则 这两个图形全等.故选A.,2.图4-2-1(1)(12)中全等的图形是 ; ; ; ; ; . (填图形的序号)图4-2-1,答案 (1)和(11);(2)和(10);(3)和(6);(4)和(7);(5)和(8);(9)和(12),知识点二 全等三角形 3.
7、如图4-2-2,如果ABC和CDA是全等三角形,那么一定是一组对应 边的是 ( )图4-2-2 A.AB和CD B.AC和AC C.AD和CB D.AD和DC,答案 B AC是两个三角形的公共边,所以一定是两个全等三角形的对 应边,其他对应边不能确定.,4.(2016四川成都中考)如图4-2-3,ABCABC,其中A=36,C= 24,则B= .图4-2-3,答案 120,解析 ABCABC,C=C=24,B=180-A-C=180 -36-24=120.,5.如图4-2-4,将长方形纸片ABCD(ADAB)沿AM折叠,使D点落在BC上 (与点N重合),如果AD=10 cm,DM=8.4 cm
8、,DAM=40,则AN= cm, NAB= .图4-2-4,答案 10;10,解析 由折叠知ANMADM,AN=AD=10 cm,NAM=DAM= 40,NAB=90-NAM-DAM=90-40-40=10.,1.观察下列图形,其中是全等图形的是 ( ),答案 A 全等图形不受位置摆放的限制.,2.下列叙述:能够完全重合的两个图形一定是全等图形;全等图形 的面积一定相等;两个周长相等的图形一定是全等图形.其中正确的 个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 C 正确,故选C.,3.如图所示,ABCAEF,AB=AE,B=E,则对于结论:AC=AF; FAB=EAB;EF=BC;EA
9、B=FAC,其中正确结论的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C AC和AF,EF和BC分别是对应边,所以AC=AF,EF=BC,因此 正确.因为BAC和EAF是对应角,所以BAC=EAF,所以EAB= FAC,因此正确.易知错误.,4.(2016重庆云阳盛堡初级中学月考)如图,若ABEACF,且AB=7, AE=3,则EC的长为 ( )A.3 B.4 C.4.5 D.5,答案 B 因为ABEACF,所以AC=AB=7,又因为AE=3,所以EC= AC-AE=7-3=4,故选B.,1.(2018山东临沂月考)如图4-2-5,已知ABCCDE,那么下列结论中, 不正确的是 ( )图
10、4-2-5 A.AC=CE B.BAC=ECD C.ACB=ECD D.B=D,答案 C ABCCDE,ACB=CED,AC=CE,BAC= ECD,B=D,C选项中ACB=ECD是错的.故选C.,2.(2018甘肃武威凉州期末)如图4-2-6,ABCABC,ACB=90, ACB=20,则BCB的度数为 ( )图4-2-6 A.20 B.40 C.70 D.90,答案 C ACBACB,ACB=ACB,又ACB=90,ACB =20,BCB=ACB-ACB=70.故选C.,3.(2018福建龙岩上杭期中)如图4-2-7,ABCDEF,BE=4,AE=1,则 DE的长是 .图4-2-7,答案
11、5,解析 BE=4,AE=1,AB=BE+AE=4+1=5,ABCDEF,DE= AB=5.故答案为5.,4.如图4-2-8,C=CAM=90,AC=8,BC=4,P、Q两点分别在线段AC和射线AM上运动,且PQ=AB.若ABC与PQA全等,则AP的长度为 .图4-2-8,答案 8或4,解析 当ABCPQA时,AP=AC=8;当ABCQPA时,AP=BC=4, 故答案为8或4.,1.已知ABCDEF,AB=2,AC=4,若DEF的周长为偶数,则EF的取 值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.3或4或5,答案 B ABCDEF,EF=BC.AB=2,AC=4,4-2BC4+2, 即2BC6,
12、又由已知得EF的长为整数,EF=BC=3或4或5,又DEF 的周长为偶数,所以EF=4.故选B.,2.已知ABC的三边长分别为7,5,3,DEF的三边长分别为3x-2,2x-1,3, 若这两个三角形全等,则x= .,答案 3,解析 ABC与DEF全等,3x-2=7且2x-1=5,此时x=3,或3x-2=5且 2x-1=7,此时不存在满足条件的x.故答案为3.,一、选择题 1.(2018广东河源正德中学段考,7,)已知ABCDEF,A= 80,E=40,则F等于 ( ) A.80 B.40 C.60 D.120,答案 C ABCDEF,D=A=80,F=180-D-E= 180-80-40=60
13、.,二、填空题 2.(2018江苏宝应城郊中学期末,16,)如图4-2-9,ABCADE,BC的延长线交DE于点G,若B=24,CAB=54,DAC=16,则DGB= .图4-2-9,答案 70,解析 B=24,CAB=54,DAC=16, AFB=180-(B+CAB+DAC)=86, GFD=AFB=86. ABCADE, D=B=24, DGB=180-D-GFD=70.,1.(2018山东潍坊寿光期末,7,)如图,RtABC沿直角边BC所在的 直线向右平移到RtDEF,则下列结论中,错误的是 ( )A.BE=EC B.BC=EF C.AC=DF D.ABCDEF,答案 A RtABC沿
14、直角边BC所在直线向右平移到RtDEF, RtABCRtDEF,BC=EF,AC=DF,BC-EC=EF-EC,即BE=CF,只 有选项A是错误的,故选A.,2.(2017河南周口太康期中,12,)已知ABCDEF,BC=EF= 5 cm,ABC的面积是20 cm2,那么DEF中EF边上的高是 cm.,答案 8,解析 ABCDEF,BC=EF=5 cm,ABC的面积是20 cm2, BC h=20(h为ABC中BC边上的高),h=8 cm,则DEF中EF边上的高是 8 cm.,3.(2018吉林四平伊通期末,16,)如图,A、C、N三点在同一直线 上,在ABC中,AABCACB=3510,若M
15、NCABC,则 BCMBCN= .,答案 14,解析 AABCACB=3510,A+ABC+ACB=180, A=30,ABC=50,ACB=100.MNCABC,N=ABC =50,M=A=30,MCA=M+N=80,BCM=20,BCN= 80,BCMBCN=14.,一、选择题 1.(2016福建厦门中考,3,)如图4-2-10,点E,F在线段BC上,ABF与 DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则 DCE= ( )图4-2-10 A.B B.A C.EMF D.AFB,答案 A ABF与DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点, DCE=B,故选A.,二
16、、填空题,2.(2015广西柳州中考,14,)如图4-2-11,ABCDEF,则EF = .图4-2-11,答案 5,解析 ABCDEF,EF=BC=5.,(2014江苏淮安中考,17,)如图,ABDCBD,若A=80, ABC=70,则ADC的度数为 .,答案 130,解析 ABDCBD,C=A=80,又A+ABC+C+ ADC=360,ADC=360-80-70-80=130.,1.全等三角形又叫做合同三角形,平面内的合同三角形分为真正合同三 角形与镜面合同三角形,假设ABC和A1B1C1是全等(合同)三角形,且 点A与点A1对应,点B与点B1对应,点C与点C1对应,当沿周界ABCA 及A
17、1B1C1A1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形 (如图4-2-12所示);若运动方向相反,则称它们是镜面合同三角形(如图 4-2-12所示).两个真正合同三角形,都可以在平面内通过平移或旋转 使它们重合;而两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中的一个翻折.,图4-2-12,下列各组合同三角形中,是镜面合同三角形的是 ( ),答案 B 解题的关键是准确理解题目中新概念的意义和性质.易知要 使B中两个三角形重合,必须将其中一个进行翻折,故选B.,2.如图4-2-13所示,已知ABEACD. (1)说明ABE经过怎样的变换后可与ACD重合; (2)BAD与CAE有何关系?请说明理由;
18、 (3)BD与CE相等吗?为什么?图4-2-13,解析 (1)先将ABE沿DC方向平移,使B与C重合,再将平移后的ABE 沿过C且垂直于DC的直线翻折,即可使ABE与ACD重合(方法不唯 一). (2)BAD=CAE. 理由:ABEACD,BAE=CAD. BAE=BAD+DAE,CAD=CAE+DAE, BAD=CAE. (3)相等.理由:ABEACD,BE=CD, BE-DE=CD-DE,即BD=CE.,1.长为1的一根绳恰好可围成两个三边长都不相等的全等三角形,则其 中一个三角形的最长边x的取值范围为 ( ) A. x B. x C. x D. x,答案 C 由题意可得两个三角形的周长相
19、等,且为 .设三角形中除最 长边x外,另外两边为y,z,则x+y+z= ,y+zx,xy,xz, x .综上可得 x ,故选C.,2.如图,ABEEDC,E在BD上,ABBD,B为垂足.(1)试问:AE和EC相等吗?AE和CE垂直吗? (2)分别将图中的ABE绕点E按顺时针方向旋转,分别画出满足下列条 件的图形并说出此时ABE与EDC中相等的边和角. 使AE与CE重合;使AE与CE垂直;使AE与EC在同一直线上.,解析 (1)AE和EC相等且垂直. ABEEDC,AE=EC,A=CED, ABBD,A+AEB=90,CED+AEB=90, AEC=180-90=90,AECE. (2)如图所示,相等的边有AB=ED,AE=EC,BE=DC; 相等的角有BAE=DEC,ABE=EDC,AEB=ECD.,
