1、知识点 利用三角形全等测距离 测量距离 例 小强为了测量一幢高楼的高度AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P. 测得在P点观察旗杆顶C的视线PC与地面的夹角DPC=36,测得在P 点观察楼顶A的视线PA与地面的夹角APB=54,量得P到楼底的距离 PB与旗杆的高度相等,均为10米,量得旗杆与楼之间的距离为DB=36米, 如图4-5-1,小强计算出了楼高,楼高AB是多少米?,图4-5-1,分析 根据题意可得CPDPAB(ASA),进而利用AB=DP=DB-PB 求出楼高.,解析 因为CPD=36,APB=54,CDP=ABP=90,所以DCP= APB=54.在CPD和PAB中,因为CDP=ABP,
2、DC=PB,DCP= APB,所以CPDPAB(ASA),所以DP=AB.由DB=36米,PB=10米, 得AB=DP=36-10=26(米).即楼高AB是26米.,题型 实际应用题 例 如图4-5-2所示,某湖泊岸边有A、B两棵大树,计划在两棵大树间架 一条电话线路,为了计算两棵大树能承受的压力,需测量出A、B之间的 距离,但是A、B两地又不能直接到达,请你用学过的知识设计一个测量 方案,求出A、B之间的距离,写出你的测量方案.,图4-5-2,解析 测量方案如下: 如图4-5-3,连接AB,在湖泊岸边找一点C,连接AC,BC,并延长,截取CD= BC,EC=AC,连接DE.图4-5-3 在A
3、BC和EDC中,ABCEDC(SAS), AB=ED, 量出ED的长即可得到A、B之间的距离.,点拨 利用三角形全等来测量距离(或角度),实际上就是利用已有的全 等三角形或构造出的全等三角形,通过全等三角形的对应边相等(或对 应角相等)这一性质,把较难测量长度的线段(或较难测得的角)转化成已 知线段(或已知角)或是较容易测得长度的线段(或是较容易测得的角).,运用直观想象构造全等三角形 素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与 变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括: 借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描 述、分析数学问题
4、;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索 解决问题的思路. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形 成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础. 直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助 几何直观理解问题,运用空间想象认识事物.,典例剖析,例 (2018河南漯河临颍月考)如图4-5-4所示,已知一池塘宽为AB.请你 运用所学的“三角形全等”的有关知识设计一种测量AB的方案,并说 明理由.图4-5-4,解析 答案不唯一,提供以下方案,任选一种即可. 方案一:如图4-5-5,先在平地取一个可直接到达A,B的点C,再连接AC, BC,并分
5、别延长AC至D,BC至E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的长即为 A,B间的距离.,图4-5-5,理由:在ABC和DEC中, ABCDEC(SAS),AB=ED. 方案二:如图4-5-5,过点B作BDAB,再由点D观测,得出BDA的大 小,在AB的延长线上取一点C,使BDC=BDA,这时只要测出BC的长 即为A,B间的距离. 理由:在ABD和CBD中, ABDCBD(ASA),AB=BC.,素养呈现 本题以测量池塘宽度为背景,通过构造全等三角形,利用全 等三角形的判定和性质来测量池塘的宽.解决本题的关键是利用全等三 角形的判定方法,根据选取的判定方法合理设计方案,从而使问题得以 解决.
6、方案一选择“SAS”构造全等三角形,方案二选择“ASA”构造 全等三角形.,知识点 利用三角形全等测距离 1.如图4-5-1,将两根钢条AA、BB的中点O连在一起,使AA、BB可以绕 着点O自由转动,就做成了一个测量工具,则AB的长等于内槽AB的长, 那么判定AOBAOB的理由是 ( )图4-5-1 A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边,答案 A 因为OA=OA,OB=OB,AOB=AOB,所以根据“SAS”可 判定AOBAOB.,2.如图4-5-2,小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和E.C、E、A三点 在同一直线上,B、C相距20米,D、C相距40米,乙楼高BE为15米,小明的
7、 身高忽略不计,则甲楼高AD为 ( )图4-5-2 A.40米 B.20米 C.15米 D.30米,答案 D 过E作EFAD,垂足为F,则EFCD,C=AEF,又 AFE=EBC=90,FE=BD=CD-BC=40-20=20米=BC,EBCAFE, AF=BE.AD=AF+FD=2BE=215=30米.,1.如图所示,要测量河岸相对的两点A、B之间的距离,先从B点出发沿与 AB成90角的方向走50 m到C点立一根标杆,然后方向不变继续走50 m 到D点,在D点转90沿DE方向再走17 m,到达E点,使A、C、E三点在同 一条直线上,那么得A、B两点的距离为 .,答案 17 m,解析 由题意易
8、得ABCEDC,则AB=DE=17 m.,2.如图,工人师傅要在墙壁的O处用钻头打孔,要使孔口从墙壁对面的B 点处打开,墙壁厚是35 cm,B点与O点的铅直距离AB长是20 cm,工人师傅 在旁边墙上与AO水平的线上截取OC=35 cm,画CDOC,使CD=20 cm, 连接OD,然后沿着DO的方向打孔,结果钻头正好从B点处打出,这是为什 么呢?请你说出理由.,解析 因为OC=35 cm,墙壁厚OA=35 cm, 所以OC=OA. 因为墙体是竖直的,所以OAB=90. 又因为CDOC,所以OAB=OCD=90. 在OAB和OCD中, 因为OAB=OCD=90,OC=OA,AOB=COD, 所以
9、OABOCD(ASA),所以AB=DC. 因为DC=20 cm,所以AB=20 cm. 所以钻头正好从B点处打出.,3.在新修的花园小区中,有一条“Z”字形绿色长廊ABCD,如图,ABCD,在AB、BC、CD三段绿色长廊上各修建一凉亭E、M、F,且BE=CF,M是BC的中点,E、M、F在一条直线上.若在凉亭M与F之间有一池塘,在用皮尺不能直接测量的情况下,你能知道M与F之间的距离吗?试说明理由.,解析 能,测出M与E之间的距离就知道了M与F之间的距离. 理由如下:ABCD,B=C, M是BC的中点,BM=MC, 在EBM和FCM中, EBMFCM,ME=MF.,1.如图4-5-3,点D为码头,
10、A,B两个灯塔与码头的距离相等,DA,DB为海岸 线.一轮船离开码头,计划沿ADB的平分线航行,在航行途中C点处,测 得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等.试问:轮船航行是否偏离指定航线? 请说明理由.图4-5-3,解析 此时轮船没有偏离航线. 理由:由题意知,DA=DB,AC=BC, 在ADC和BDC中,所以ADCBDC(SSS), 所以ADC=BDC. 所以DC为ADB的平分线. 所以此时轮船没有偏离航线.,解析 能.ACCD,FDCD,C=D=90. 在AOC和FOD中, AOCFOD(ASA),OA=OF,A=F.在AOB和FOE中, AOBFOE(ASA), AB=FE,即EF的长就是浅
11、滩B与对岸A之间的距离.,1805年,法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔展开激战,德军在 莱茵河对岸Q处,如图所示,因不知河宽,法军的大炮很难准确射击对岸 的德军兵营,聪明的拿破仑站在河岸的O点,调整了自己的帽子,使视线 恰好擦过帽舌边缘看到对岸德军的兵营Q处,然后他保持姿势一步一步 后退,一直退到自己的视线恰好落在他刚才站到的O点,让士兵测量他站 在B点和O点之间的距离,并下令按这个距离开炮.这样法军能命中目标 吗?为什么?,解析 法军能命中目标.理由如下: 由题意知AB=PO,BAO=OPQ. ABBO,POBO,ABO=POQ=90. 在ABO与POQ中, ABOPOQ(ASA),BO
12、=OQ. 按BO的距离炮轰德军兵营时,炮弹恰好落入德军兵营Q处,这样法军 能命中目标.,一、填空题,1.(2017山东青岛胶州期末,17,)如图4-5-5, 小明要测量水池的宽AB,但没有足够长的绳子, 聪明的他想了如下办法:先在地上取一个可以 直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D, 使CD=CA,连接BC并延长 到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度,则DE的长度就是AB的长,理 由是根据 (用简写形式即可),可以得到ABCDEC,从而由 全等三角形的对应边相等得出结论.,图4-5-5,答案 边角边(或SAS),二、解答题 2.(2016陕西兴平期末,24,)如图4-5-6,要
13、测量河两岸相对的两 点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再作出BF 的垂线DE,使A、C、E三点在同一条直线上,这时测得的DE的长就是 AB的长,请说明理由.图4-5-6,解析 理由如下:在ABC和EDC中, ABC=EDC,BC=CD,ACB=ECD, ABCEDC,DE=AB.即DE的长就是AB的长.,(2016甘肃白银期末,26,)如图是一座大楼相邻的两面墙,现需测 量外墙根部两点A、B之间的距离(人不能进入墙内测量).请你按以下要 求设计一个测量A、B之间距离的方案. (1)画出测量图案; (2)写出方案步骤; (3)说明理由.,解析 (1)图略. (2)
14、延长BO到D,使BO=DO,延长到AO到C,使AO=CO,连接DC,则DC的长 就是A、B之间的距离. (3)在AOB和COD中, AOBCOD,AB=DC,故DC的长就是A、B之间的距离.,选择题,(2015浙江绍兴中考,7,)如图4-5-7, 小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD, BC=DC,将仪器上的点A与PRQ的顶点R 重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的 两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是PRQ 的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得ABC ADC,这样就有QAE=PAE.则说明这两个三角形全等的依据是 ( ) A.SAS B.ASA C.AAS
15、D.SSS,图4-5-7,答案 D 因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以 ABCADC(SSS),故选D.,(2013云南红河中考,16,)如图,D是ABC的边AB上一点,E是AC 的中点,过点C作CFAB,交DE的延长线于点F.试说明:AD=CF.,解析 E是AC的中点,AE=CE. CFAB,A=ECF,ADE=F. 在ADE与CFE中, ADECFE(AAS),AD=CF.,图4-5-8是一张简易木床的侧面图,现要钉上两根木条以确保其坚固 耐用,木条AB已经钉上了,如果为了美观,要求木条EF与木条AB等长,那 么应该怎样确定点E,F的位置?请说明理由.图4-5-8,解析 如图,利用刻度尺测量,使BC=DF,AC=DE时, 木条EF与木条AB等长. 理由:在ACB和EDF中,ACBEDF(SAS),AB=EF.,某同学根据数学原理制作了如图所示的一个测量工具拐尺,其中 O为AB的中点,CAAB,BDAB,CA=BD.现要测量一透明隔离房间的深 度,如何使用此工具测量?请说明理由.,
