1、,3.6 直线和圆的位置关系,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第三章 圆,第2课时 切线的判定及三角形的内切圆,1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点） 2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）,学习目标,砂轮上打磨工件时飞出的火星,下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？,导入新课,情境引入,讲授新课,问题1 如图，OA是O的半径， 经过OA 的外端点A， 作一条直线lOA，圆心O 到直线l 的距离是多少？ 直线l 和O有怎样的位置关系？,合作探究,l,由圆的切线定义可知直线l 与圆O 相切.,l,过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
2、,OA为O的半径,BC OA于A,BC为O的切线,B,C,O,要点归纳,下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？,(1)不是，因为没有垂直.,(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.,判一判,判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：,1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;,2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；,3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,要点归纳,用三角尺过圆上一点画圆的切线.,做一做,（2） 过点P 沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l 就是所要画的切线.如图所示.,如下图所
3、示，已知O 上一点P，过点P 画O 的切线,画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处， 并使一直角边与半径OP 重合；,为什么画出来的直线l是O的切线呢？,例1 已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是O的切线.,O,B,A,C,证明：连接OC. OAOB,CACB, OC是等腰OAB底边AB上的中线. ABOC. OC是O的半径, AB是O的切线.,典例精析,例2 如图,ABC 中，AB AC ，O 是BC的中点，O 与AB 相切于E.求证：AC 是O 的切线,B,O,C,E,A,分析：根据切线的判定定理，要证明AC是O的切线，只要证明由点O向AC
4、所作的垂线段OF是O的半径就可以了，而OE是O的半径，因此只需要证明OF=OE.,证明：连接OE ，OA, 过O 作OF AC.,O 与AB 相切于E ， OE AB.,又在ABC 中，AB AC ，O 是BC 的中点,AO 平分BAC，,F,B,O,C,E,A,OE OF.,OE 是O 半径，OF OE，OF AC.,AC 是O 的切线,又OE AB ，OFAC.,(1) 已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”; (2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”.,证
5、切线时辅助线的添加方法,例3 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？,已知：ABC. 求作：和ABC的各边都相切的圆O.,分析：如果圆O与ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于_，从而这些距离相等.,半径,到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是A 的_与B的_的_点.,平分线,平分线,交,作法： 1.作B和C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作ODBC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O.,O就是所求的圆.,观察与思考,与ABC的三条边都相切的圆有几个？,因为B和C的平分线的交点只有一个,并且交点O到ABC三边的距离相等且唯一，所以与A
6、BC三边都相切的圆有且只有一个.,1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.,B,2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.,4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.,3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.,O是ABC的内切圆，点O是ABC的内心.,三角形三边中垂线的交点,1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部,三角形三条角平分线的交点,1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别 平分BAC、ABC、ACB 3.内心在三角形内部,填一填,例4 ABC中，O是ABC的内切圆， A=70， 求 BOC的度数。,解： A=70,ABC+ACB=180- A=110,O
7、是ABC的内切圆,BO,CO分别是ABC和ACB的平分线,即 OBC= ABC OCB= ACB,典例精析, BOC=180-( OBC+OCB)=180- ( ABC +ACB)=180 - 110 = 125.,1.判断下列命题是否正确. 经过半径外端的直线是圆的切线. 垂直于半径的直线是圆的切线. 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. (5)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点. (6) 三角形的内心到三角形各边的距离相等. (7)三角形的内心一定在三角形的内部.,（）,（）,（ ）,（ ）,（ ）,当堂练习,（ ）,（ ）,2.如图，
8、O内切于ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上已知B50，C60，连接OE，OF，DE，DF，那么EDF等于( ) A40 B55 C65 D70,解析：ABC180，B50，C60，A70.O内切于ABC，切点分别为D、E、F，OEAOFA90，EOF360AOEAOFA110，EDF EOF55.,B,B,D,E,F,O,C,A,3.如图，ABC的内切圆的半径为r, ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOC SAOC, ABOD BCOE
9、ACOF, lr,证明：连接OP.AB=AC,B=C. OB=OP，B=OPB， OPB=C. OPAC. PEAC， PEOP. PE为O的切线.,4.如图,ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交 边BC于P， PEAC于E. 求证:PE是O的切线.,O,A,B,C,E,P,5.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点M.求证：CD与O相切,证明：连接OM，过点O作ONCD于点N， O与BC相切于点M， OMBC. 又ONCD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， OMON， CD与O相切,M,N,6.已知：ABC内接于O，过点A作直线EF. （
10、1）如图1，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： _ ； _ . （2）如图2，AB是非直径的弦，CAE=B，求证：EF是O的切线.,BAEF,CAE=B,证明：连接AO并延长交O于D,连接CD,则AD为O的直径. D+ DAC=90 , D与B同对 , D= B, 又 CAE= B, D= CAE, DAC+ EAC=90, EF是O的切线.,D,7.如图，已知E是ABC的内心，A的平分线交BC于点F，且与ABC的外接圆相交于点D.,(1)证明：E是ABC的内心， ABECBE，BADCAD. 又CBDCAD， BADCBD. CBECBDABEBAD. 即DBEDEB， 故BDED；,(1)求证：BDED；,(2)若AD8cm，DFFA13.求DE的长,(2)解：AD8cm，DFFA13， DF AD 82(cm) CBDBAD，DD，BDFADB， , BD2ADDF8216， BD4cm， 又BDDE， DE4cm.,切线的 判定方法,定义法,数量关系法,判定定理,1个公共点，则相切,d=r，则相切,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,证切线时常用辅助线添加方法： 有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径.,课堂小结,三角形内切圆,有关概念,内心概念及性质,
