1、二、分类讨论思想,总纲目录,应用一 由概念、法则、公式引起的分类讨论,例1 (2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和 为Sn.已知S3= ,S6= ,则a8= .,答案 32,解析 设等比数列an的公比为q. 当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意, q1,由题设可得 解得 a8=a1q7= 27=32.,【技法点评】 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论往 往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条 件下结论不一致.如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.,1.已知函数f(x)= 若f(2-a)=1,则f(a)等于 ( ) A.-
2、2 B.-1 C.1 D.2,答案 A 当2-a2,即a0时,22-a-2-1=1, 解得a=-1, 则f(a)=f(-1)=-log23-(-1)=-2; 当2-a0时,-log23-(2-a)=1, 解得a=- ,舍去. 综合可知,f(a)=-2.,2.设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0(n=1,2,3,),则q的取值 范围为 .,答案 (-1,0)(0,+),解析 由an是等比数列,Sn0,可得a1=S10,q0. 当q=1时,Sn=na10; 当q1时,Sn= 0,即 0(nN*). 则有 或 由得-11. 故q的取值范围是(-1,0)(0,+).,应用二 由运算、性质引起的分类
3、讨论,例2 已知a,b0且a1,b1,若logab1,则 ( ) A.(a-1)(b-1)0 C.(b-1)(b-a)0,答案 D,解析 a,b0且a1,b1,当a1,即a-10时,不等式logab1 可化为 a1,即ba1,(a-1)(a-b)0,(b-1)(b-a)0. 当01可化为 0,(b-1)(b-a)0.综上可知,选D.,【技法点评】 1.对于指数、对数型函数问题,应注意对底数是 否大于1进行讨论,进而确定函数的单调性.,2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引起的.比如除以一个数 时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数 是零、是正数、还是负数的讨论;二次方程运算
4、中对两根大小的 讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中 等价变形引发的讨论等.,3.若函数f(x)=ax(a0,a1)在区间-1,2上的最大值为4,最小值为 m,且函数g(x)=(1-4m) 在区间0,+)上是增函数,则a= .,答案,解析 若a1,则a2=4,a-1=m,此时a=2,m= ,此时g(x)=- 在0,+) 上为减函数,不合题意. 若0a1,有a-1=4,a2=m, 故a= ,m= ,此时g(x)= 在0,+)上为增函数,符合题意. 综上可知,a= .,4.已知a,b,c分别是ABC的内角A,B,C所对的边,a=2bcos B,bc. (1)求证:A=2B;
5、(2)若a2+c2=b2+2acsin C,求A.,解析 (1)证明:a=2bcos B,且 = , sin A=2sin Bcos B=sin 2B, 00, 02B, A=2B或A+2B=. 若A+2B=,则B=C,b=c,这与“bc”矛盾, A+2B,A=2B. (2)a2+c2=b2+2acsin C, =sin C, 由余弦定理得cos B=sin C, 0B,0C,C= -B或C= +B. 当C= -B时,由A=2B且A+B+C=,得A= ,B=C= ,这与“b c”矛盾,A ; 当C= +B时,由A=2B且A+B+C=,得A= ,B= ,C= ,A= .,应用三 由参数变化引起的
6、分类讨论,例3 (2018北京,18节选)设函数f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.若f(x) 在x=2处取得极小值,求a的取值范围.,解析 因为f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex, 所以f (x)=ax2-(2a+1)x+2ex=(ax-1)(x-2)ex. 若a ,则当x 时, f (x)0. 所以f(x)在x=2处取得极小值. 若a ,则当x(0,2)时,x-20, 所以2不是f(x)的极小值点. 综上可知,a的取值范围是 .,【技法点评】 若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的 意义及对结果的影响进行分类讨论,此种题目为含参型,应全面分 析参数变化引起结论的
7、变化情况,参数有几何意义时还要考虑适 当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确,不重不漏.,5.已知函数f(x)=mx2-x+ln x,若在函数f(x)的定义域内存在区间D,使 得该函数在区间D上为减函数,则实数m的取值范围为 .,答案,解析 由题意知f (x)=2mx-1+ = ,x0, 即2mx2-x+10时,由于函数y=2mx2-x+1的图象的对称轴为x= 0, 故只需0,即1-8m0,故m . 综上所述,m ,故实数m的取值范围为 .,6.(2017课标全国,21改编)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.讨论f(x)的 单调性.,解析 函数f(x)的定义域为(-,+), f
8、 (x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex -a). 若a=0,则f(x)=e2x,在(-,+)上单调递增. 若a0,则由f (x)=0得x=ln a. 当x(-,ln a)时, f (x)0. 故f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增. 若a0,则由f (x)=0得x=ln . 当x 时,f (x)0;,当x 时, f (x)0. 故f(x)在 上单调递减,在 上单调递增.,应用四 由图形位置或形状引起的分类讨论,例4 (2018课标全国,19,12分)设椭圆C: +y2=1的右焦点为F, 过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0). (1
9、)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.,解析 (1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1, 由已知可得,点A的坐标为 或 . 又M(2,0),所以AM的方程为y=- x+ 或y= x- . (2)证明:当l与x轴重合时,OMA=OMB=0, 当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线, 所以OMA=OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为 y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1 ,x2 ,直线MA,MB的斜率之和为,kMA+kMB= + . 由y1=kx1-k,y2=kx2-k得 kMA+kMB= .
10、将y=k(x-1)代入 +y2=1得 (2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0, 所以x1+x2= ,x1x2= . 则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k= =0, 从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补, 所以OMA=OMB. 综上,OMA=OMB.,【技法点评】 对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分 类整合法,这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关 系,以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究.破解此类题的 关键点: 确定特征,一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定. 分类,根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类. 得出结论,将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理.,7.正三棱柱的侧面展开图是长和宽分别为6和4的矩形,则它的体 积为 ( ) A. B.4 C. D.4 或,答案 D 当正三棱柱的高为4时,体积V=2 4=4 ;当正 三棱柱的高为6时,体积V= 6= .,8.已知变量x,y满足的不等式组 表示的是一个直角三 角形围成的平面区域,则实数k= ( ) A.- B. C.0 D.- 或0,答案 D 作出不等式组 表示的平面区域,易知当直 线y=kx+1与直线x=0或y=2x垂直时平面区域是直角三角形区域. k=0或- .故选D.,
