1、四、转化与化归思想,总纲目录,应用一 正与反的相互转化,例1 若对于任意t1,2,函数g(x)=x3+ x2-2x在区间(t,3)上 总不为单调函数,则实数m的取值范围是 .,答案 - m-5,解析 由题意得g(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)上总为单调 函数,则g(x)0在(t,3)上恒成立,或g(x)0在(t,3)上恒成立. 由得3x2+(m+4)x-20,即m+4 -3x在x(t,3)上恒成立,m+4 -3t恒成立,则m+4-1,即m-5; 由得m+4 -3x在x(t,3)上恒成立, 则m+4 -9,即m- . 函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的
2、取值范围为- m-5.,【技法点评】 题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相 对很少,从反面考虑比较简单,因此,间接法多用于含有“至多” “至少”及否定性命题情形的问题中.如本例中由于不为单调函 数有多种情况,直接求解较难,故用“正难则反”的方法求解.,1.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间-1,1内至少存在一 个值c,使得f(c)0,则实数p的取值范围是 .,答案,解析 若在区间-1,1内不存在c满足f(c)0, 且=36p20恒成立, 则 即 解得p-3或p , 所以满足题意的实数p的取值范围是 .,应用二 一般与特殊的转化,例2 设四边形ABCD为平行四
3、边形,| |=6,| |=4.若点M,N满足=3 , =2 ,则 = ( ) A.20 B.15 C.9 D.6,答案 C,解析 若四边形ABCD为矩形,建系如图. 由 =3 , =2 ,知M(6,3),N(4,4), =(6,3), =(2,-1), =62+3(-1)=9.故选C.,【技法点评】 (1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函 数、特殊图形、特殊角、特殊位置等. (2)对于选择题,当题设在普通条件下都成立时,用特殊值进行探 求,可快捷地得到答案.,2.如果a1,a2,a8为各项都大于零的等差数列,公差d0,那么 ( ) A.a1a8a4a5 B.a1a8a4+a5 D.a1a
4、8=a4a5,答案 B 取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8,显然只有1845成立.,3.在ABC中,三边长a,b,c满足a+c=3b,则tan tan 的值为( ) A. B. C. D.,答案 C 令a=4,c=5,b=3,则符合题意.(取满足条件的三边) 则由C=90,得tan =1,由tan A= , 得tan = . 所以tan tan = 1= .故选C.,应用三 常量与变量的转化,例3 已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f (x)-ax-5,其中f (x)是f(x)的导 函数.对满足-1a1的一切a的值,都有g(x)0,则实数x的取值范 围为 .,答案,解析 由题
5、意,知g(x)=3x2-ax+3a-5, 令(a)=(3-x)a+3x2-5,-1a1. 对-1a1,恒有g(x)0,即(a)0, 即 解得- x1. 故当x 时,对满足-1a1的一切a的值,都有g(x)0.,【技法点评】 在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中 的常数(或参数),将其看作是“主元”,而把其他变元看作是常量, 从而达到减少变元简化运算的目的.,4.设f(x)是定义在R上的单调递增函数,若f(1-ax-x2)f(2-a)对任意 a-1,1恒成立,则x的取值范围为 .,答案 (-,-10,+),解析 f(x)是R上的单调递增函数, 1-ax-x22-a,a-1,1. 可化为(x
6、-1)a+x2+10, 对a-1,1恒成立. 令g(a)=(x-1)a+x2+1,a-1,1, 则 解得x0或x-1, 即实数x的取值范围是(-,-10,+).,5.设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t在-2,2上变化时,y恒取正值,则x 的取值范围是 .,答案 (8,+),解析 设y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1, 则f(t)是一次函数,当t-2,2时, f(t)0恒成立, 则 即 解得log2x3, 即08, 故x的取值范围是 (8,+).,应用四 形体位置关系的相互转化,例4 (2018课标全国,7,5分)某圆柱的高为2,底面周
7、长为16,其 三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表 面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N 的路径中,最短路径的长度为 ( )A.2 B.2 C.3 D.2,答案 B,解析 先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位 置如图所示.,圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N为OP的四等分点)如图所 示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径. ON= 16=4,OM=2, |MN|= = =2 .故选B.,【技法点评】 形体位置关系的转化常将空间问题平面化、不 规则几何体特殊化,使问题易于解决.同时也要注意方法的选取, 否则会跳入自己设的“陷阱”中.,6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,ACB=90, AC=6,BC=CC1= ,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是 .,答案 5,解析 连接A1B,沿BC1将CBC1展开,与A1BC1在同一个平面内, 如图,连接A1C,则A1C的长度就是所求的最小值. 通过计算可得AB=A1B1= ,A1B= ,A1C1=6,BC1=2,所以A1 +B=A1B2,则A1C1B=90,又BC1C=45,所以A1C1C=135. 在A1CC1中,由余弦定理可求得A1C=5 .,
