1、第10讲 空间点、直线、平面之间的位置关系,总纲目录,考点一 空间线、面位置关系的判断,1.(2018浙江,6,4分)已知平面,直线m,n满足m,n,则“m n”是“m”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A m,n,mn,m,故充分性成立.而由m,n ,得mn或m与n异面,故必要性不成立.故选A.,2.(2018湘东五校联考)已知直线m,l,平面,且m,l,给出下 列命题: 若,则ml;若,则ml; 若ml,则;若ml,则. 其中正确的命题是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 对于,若,m,l,则ml,故正确,排除B.
2、对 于,若ml,m,则l,又l,所以.故正确.故选A.,3.(2016课标全国,14,5分),是两个平面,m,n是两条直线,有下 列四个命题: 如果mn,m,n,那么. 如果m,n,那么mn. 如果,m,那么m. 如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号),答案 ,解析 由mn,m,可得n或n在内,当n时,与可能相 交,也可能平行,故错.易知都正确.,方法归纳,判断空间线、面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断解 决问题; (2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中 观察线、面位置关系
3、,并结合有关定理进行判断. (3)借助于反证法,当从正面入手较难时,可利用反证法,推出与题 设或公认的结论相矛盾的命题,进而作出判断.,考点二 空间线面平行、垂直关系的证明,1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a,b,aba. (2)线面平行的性质定理:a,a,=bab. (3)面面平行的判定定理:a,b,ab=P,a,b. (4)面面平行的性质定理:,=a,=bab.,2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m,n,mn=P,lm,lnl. (2)线面垂直的性质定理:a,bab. (3)面面垂直的判定定理:a,a. (4)面面垂直的性质定理:,=l
4、,a,ala.,例 (2018江苏,15,14分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1= AB,AB1B1C1. 求证:(1)AB平面A1B1C; (2)平面ABB1A1平面A1BC.,证明 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1, 因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C, 所以AB平面A1B1C. (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, 四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形, 因此AB1A1B. 因为AB1B1C1,BCB1C1, 所以AB1BC. 又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC
5、平面A1BC,所以AB1平,面A1BC. 因为AB1平面ABB1A1, 所以平面ABB1A1平面A1BC.,方法归纳,平行关系及垂直关系的转化 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定定理、 性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.,1.(2018陕西质量检测(一)在三棱锥P-ABC中,PAC和PBC都 是边长为 的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点. (1)求证:OD平面PAC; (2)连接PO,求证:PO平面ABC.,答案 (1)O,D分别为AB,PB的中点, ODPA. 又PA平面PAC,OD平面PAC, OD平面PAC. (2)如图,连接OC,
6、AC=CB= ,AB=2, ACB=90, 又O为AB的中点, OCAB,OC=1. 同理,POAB,PO=1. 又PC= ,而PC2=OC2+PO2=2,POOC. 又ABOC=O,AB平面ABC,OC平面ABC, PO平面ABC.,2.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB平面ABCD,ADBC,PA AB,CDAD,BC=CD= AD,E为AD的中点. (1)求证:PACD. (2)求证:平面PBD平面PAB.,证明 (1)因为平面PAB平面ABCD, 平面PAB平面ABCD=AB,PAAB, 所以PA平面ABCD,则PACD. (2)由已知,得BCED,且BC=ED, 所以四边形BC
7、DE是平行四边形, 又CDAD,BC=CD,所以四边形BCDE是正方形, 连接CE,所以BDCE,又因为BCAE,BC=AE, 所以四边形ABCE是平行四边形, 所以CEAB,则BDAB. 由(1)知PA平面ABCD,所以PABD,又因为PAAB=A,则BD平面PAB, 因为BD平面PBD,所以平面PBD平面PAB.,考点三 空间中的翻折问题,例 (2018课标全国文,18,12分)如图,在平行四边形ABCM中, AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点 D的位置,且ABDA. (1)证明:平面ACD平面ABC; (2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP
8、=DQ= DA,求三 棱锥Q-ABP的体积.,解析 (1)证明:由已知可得,BAC=90,BAAC. 又BAAD,所以AB平面ACD. 又AB平面ABC, 所以平面ACD平面ABC. (2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3 . 又BP=DQ= DA,所以BP=2 . 作QEAC,垂足为E,则QEDC且OE= DC. 由已知及(1)可得DC平面ABC, 所以QE平面ABC,QE=1.,因此,三棱锥Q-ABP的体积为 VQ-ABP= QESABP= 1 32 sin 45=1.,方法归纳,平面图形翻折问题的求解方法 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变和不变,一 般情况下,
9、线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓 住不变量是解决问题的突破口. (2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后 的图形,也要分析折叠前的图形.,如图,平面五边形ABCDE中,ABCE,且AE=2,AEC=60,CD=ED = ,cosEDC= .将CDE沿CE折起,使点D到点P的位置,且AP = ,得到四棱锥P-ABCE. (1)求证:AP平面ABCE; (2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,求证:ABl.,证明 (1)在CDE中,CD=ED= ,cosEDC= ,由余弦定理 得CE=2.连接AC,AE=2,AEC=60,AC=2.又AP= ,在 PAE中,PA2+AE2=PE2,即APAE.同理,APAC.而AC平面 ABCE,AE平面ABCE,ACAE=A,故AP平面ABCE. (2)ABCE,且CE平面PCE,AB平面PCE, AB平面PCE. 又AB平面PAB,平面PAB平面PCE=l,ABl.,
