1、第12讲 直线与圆,总纲目录,考点一 直线的方程,1.直线方程的五种形式 (1)点斜式:y-y1=k(x-x1). (2)斜截式:y=kx+b. (3)两点式: = (x1x2,y1y2). (4)截距式: + =1(a0,b0). (5)一般式:Ax+By+C=0(A,B不同时为0).,2.三种距离公式 (1)A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离: |AB|= . (2)点P到直线l的距离:d= (其中点P(x0,y0),直线l的方 程:Ax+By+C=0). (3)两平行线间的距离:d= (其中两平行线方程分别为l1:Ax +By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0且C1C2)
2、.,3.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1l2k1=k2,l1l2k1 k2=-1,若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存 在.,1.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由l1l2得(a-2)a=13, 且a2a36, 解得a=-1, l1:x-y+6=0,l2:x-y+ =0, l1与l2间的距离d= = , 故选B.,2.坐标原点(0,0)关于直线x-2y+2=0对称的点的坐标是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 直线x-2
3、y+2=0的斜率k= ,设坐标原点(0,0)关于直线x- 2y+2=0对称的点的坐标是(x0,y0),依题意可得 解 得 即所求点的坐标是 .选A.,3.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且点P (0,4)到直线l的距离为2,则直线l的方程为 .,答案 y=2或4x-3y+2=0,解析 由 得 所以直线l1与l2的交点为(1,2).显 然直线x=1不符合题意.设所求直线的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2- k=0,因为点P(0,4)到直线l的距离为2,所以 =2,所以k=0或 k= .所以直线l的方程为y=2或4x-3y+2=0.,方法归纳,
4、求解直线方程应注意的问题 (1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出 参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的情况. (2)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式要求直线不能 与x轴垂直;两点式要求直线不能与坐标轴垂直;截距式方程不能 表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线. (3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在.,考点二 圆的方程,1.圆的标准方程 当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当 圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.,2.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2
5、-4F0)表示以 为圆心,为半径的圆.,1.已知圆C:x2+y2+kx+2y=-k2,当圆C的面积取最大值时,圆心C的坐 标为 ( ) A.(0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0),答案 B 圆C的方程可化为 +(y+1)2=- k2+1,所以当k=0 时圆C的面积最大.故圆心的坐标为(0,-1).,2.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1), (2,0)的圆的方程为 .,答案 x2+y2-2x=0,解析 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 圆经过点(0,0),(1,1),(2,0), 解得 圆的方程为x2+y2-2x=
6、0.,3.已知圆C过点(0,1),且圆心在x轴负半轴上,直线l:y=x+1被该圆所 截得的弦长为2 ,则圆C的标准方程为 .,答案 (x+1)2+y2=2,解析 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心在x轴负半轴上,a0,且b=0, 圆C过点(0,1),a2+1=r2. 又直线l被圆C截得的弦长为2 , ( )2+ =r2, 由解得a=-1,r= . 故圆C的标准方程为(x+1)2+y2=2.,方法归纳,求圆的方程的两种方法 (1)几何法:通过已知条件,利用相应的几何知识求圆的圆心,半径. (2)代数法:用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.,考点三 直线(圆)与圆的位
7、置关系,1.直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法 把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较:dr相离. (2)代数法 将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,消元后得到一元 二次方程,利用判别式来讨论位置关系:0相交;=0相切; 0相离.,2.圆与圆的位置关系的判定 (1)dr1+r2两圆外离; (2)d=r1+r2两圆外切; (3)|r1-r2|dr1+r2两圆相交; (4)d=|r1-r2|(r1r2)两圆内切; (5)0d|r1-r2|(r1r2)两圆内含.,例 (1)(2018课标全国,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于 A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上
8、,则ABP面积的取值范围是 ( ) A.2,6 B.4,8 C. ,3 D.2 ,3 (2)(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点 P在圆O:x2+y2=50上.若 20,则点P的横坐标的取值范围是.,答案 (1)A (2)-5 ,1,解析 (1)设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点P到直线x+y+2=0 的距离为d,则圆心C(2,0),r= ,所以圆心C到直线x+y+2=0的距离 为2 ,可得dmax=2 +r=3 ,dmin=2 -r= .由已知条件可得AB= 2 ,所以ABP面积的最大值为 ABdmax=6,ABP面积的最小
9、 值为 ABdmin=2. 综上,ABP面积的取值范围是2,6. 故选A. (2)解法一:设P(x,y),则由 20可得, (-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20,即(x+6)2+(y-3)265, 所以P为圆(x+6)2+(y-3)2=65上或其内部一点. 又点P在圆x2+y2=50上, 联立得 解得 或 即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),易知-5 x1. 解法二:设P(x,y),则由 20,可得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20,即 x2+12x+y2-6y20, 由于点P在圆x2+y2=50上, 故12x-6y+300,即2x-y+50, 点P为圆x
10、2+y2=50上且满足2x-y+50的点,即P为圆x2+y2=50的 劣弧MN上的一点(如图),同解法一,可得N(1,7),M(-5,-5), 易知-5 x1.,方法归纳,1.直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路 (1)研究直线与圆的位置关系主要通过比较圆心到直线的距离和 圆的半径实现,两个圆的位置关系的判断依据是两圆圆心距与两 半径差与和的比较. (2)利用位置关系求过圆外一定点的切线方程的基本思路:先将直 线方程设为点斜式,再利用圆心到直线的距离等于半径求斜率.,2.弦长的求解方法 (1)根据半径,弦心距,弦长的一半构成的直角三角形,构成三者间 的关系R2=d2+ (其中l为弦长,R为圆的
11、半径,d为圆心到直线的距 离). (2)根据公式:l= |x1-x2|求解(其中l为弦长,x1,x2为直线与圆相 交所得交点的横坐标,k为直线的斜率).,1.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 ( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ =0或2x+y- =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+ =0或2x-y- =0,答案 A 依题意可设所求切线方程为2x+y+c=0(c1),则有 = ,解得c=5,所以所求切线的方程为2x+y+5=0或2x+y- 5=0,故选A.,2.(2016山东,7,5分)已知圆M:x2+y2-2a
12、y=0(a0)截直线x+y=0所得线 段的长度是2 ,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离,答案 B 由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线 x+y=0所得线段的长度为2 ,所以圆心M到直线x+y=0的距离d= (a0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以| MN|= ,则R-r R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.,3.已知圆O:x2+y2=1,点P在直线x-2y+5=0上,过点P作圆O的一条切 线,切点为A,则|PA|的最小值为 .,答案 2,解析 过O作OP垂直于直线x-2y+5=0(P为垂足),过P作圆O的切 线PA(A为切点),连接OA,易知此时|PA|最小.由点到直线的距离公 式,得|OP|= = .又|OA|=1,所以(|PA|)min=2.,
