1、第18讲 不等式选讲,总纲目录,考点一 绝对值不等式,含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)0)-af(x)a; (3)对形如|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c的不等式,可利用绝对值不等 式的几何意义求解.,例 (2018合肥第一次教学质量检测)已知函数f(x)=|2x-1|. (1)解关于x的不等式f(x)-f(x+1)1; (2)若关于x的不等式f(x)m-f(x+1)的解集不是空集,求m的取值范 围.,解析 (1)f(x)-f(x+1)1|2x-1|-|2x+1|1, 由 或或 解得x 或- x(|2x-1|+|2x+1|)min即可.
2、,由于|2x-1|+|2x+1|=|1-2x|+|2x+1|1-2x+(2x+1)|=2, 当且仅当(1-2x)(2x+1)0,即x 时等号成立,故m2. 所以m的取值范围是(2,+).,方法归纳,1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点. (2)划区间,去绝对值符号. (3)分别解去掉绝对值符号的不等式. (4)取每个结果的并集,注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点 值.,2.图象法求解不等式 用图象法,数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题 几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法.,(2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
3、(1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,解析 (1)由题意得,f(x)= y=f(x)的图象如图所示.,(2)由f(x)的表达式及图象知, 当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x= 或x=5, 故f(x)1的解集为x|11的解集为 .,考点二 不等式的证明,1.含有绝对值的不等式的性质 |a|-|b|ab|a|+|b|.,2.算术几何平均不等式 定理1:设a,bR,则a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立. 定理2:如果a、b为正数,则 ,当且仅当a=b时,等号成立. 定理3:如果a、b、c为正数,则 ,当且仅当a=b=c时, 等
4、号成立. 定理4:(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1,a2,an为n个 正数,则 ,当且仅当a1=a2=an时,等号成立.,例 (2017课标全国,23,10分)已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,证明 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)2+ (a+b) =2+ , 所以(a+b)38, 因此a+b2.,方法归纳,不等式证明的常用方法 不等式证明
5、的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等. 如果已知条件与待证结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果 待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等 方式给出的,则考虑用反证法.在必要的情况下,可能还需要使用 换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.,设a,b,c,d均为正数,且a-c=d-b,证明: (1)若abcd,则 + + ; (2) + + 是|a-b|c-d|的充要条件.,证明 (1)因为( + )2=a+b+2 , ( + )2=c+d+2 , 由a+b=c+d,abcd得( + )2( + )2. 所以 + + . (2)若|a-b|cd. 由(1)得 + +
6、 . 若 + + ,则( + )2( + )2, 即a+b+2 c+d+2 .,因为a+b=c+d,所以abcd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab + 是|a-b|c-d|的充要条件.,考点三 含绝对值不等式的恒成立问题 1.f(x)a恒成立f(x)mina; f(x)a有解f(x)maxa; f(x)a无解f(x)maxa; f(x)a无解f(x)mina.,2.定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成 立. 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c) 0时,等号成立.,例 (2018课标全国,2
7、3,10分)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.,解析 (1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|, 即f(x)= 故不等式f(x)1的解集为 . (2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1的解集为 , 所以 1,故0a2.,综上,a的取值范围为(0,2.,方法归纳 含绝对值不等式恒成立问题,用等价转化思想. 方法一,利用三角不等式求出最值进行转化. 方法二,利用分类讨论思想,转化成求函数值域. 方法三,数形结合
8、进行转化.,(2018福州质量检测)已知函数f(x)=x2-|x|+1. (1)求不等式f(x)2x的解集; (2)若关于x的不等式f(x) 在0,+)上恒成立,求实数a的取 值范围.,解析 (1)不等式f(x)2x等价于x2-|x|-2x+10, 当x0时,式化为x2-3x+10, 解得x 或0x ; 当x0时,式化为x2-x+10, 解得x0. 综上所述,不等式f(x)2x的解集为 . (2)不等式f(x) 在0,+)上恒成立, 等价于-f(x) +af(x)在0,+)上恒成立,等价于-x2+x-1 +ax2-x+1在0,+)上恒成立, 等价于-x2+ x-1ax2- x+1在0,+)上恒成立, 因为-x2+ x-1=- - - , x2- x+1= + , 所以- a . 综上所述,实数a的取值范围是 .,
