1、第19讲 高考中的创新题型,创新型数学问题的命制是以集合、函数图象与性质、立体 几何、数列、复数等常规知识为基础,并用新的背景、新的情境 等进行“包装”,使平淡的数学题焕发出新的活力,充满了无穷的 魅力.此类问题有利于考查考生在新情境下分析问题、解决问题 的实际能力,有利于考查考生的发散性思维能力和探索、创新精 神,是各级各类考试中一道亮丽的风景线.,总纲目录,题型一 设置“新运算”“新运算”是指在现有的运算法则和运算律的基础上定义 的一种新的运算,是一种特别设计的计算形式,它使用一些特殊的 运算符号,如“*”“”“”等,这些符号与四则运算中的加 减乘除符号是不一样的.“新运算”类问题的情境一
2、般比较陌生, 求解时考生需要坦然面对,先准确理解“新运算”法则,再加以灵 活运用即可解决问题.特别注意:新定义的算式在没有转化前,是 不适合运用现有的运算法则和运算律进行计算的.,例 定义一种运算:(a1,a2)(a3,a4)=a1a4-a2a3.将函数f(x)=( ,2sinx)(cos x,cos 2x)的图象向左平移n(n0)个单位长度,所得图象对 应的函数为偶函数,则n的最小值为 ( ) A. B. C. D.,答案 C,解析 由新运算可知f(x)= cos 2x-sin 2x=2cos ,将函数 f(x)的图象向左平移n(n0)个单位长度后得到函数y=2cos 的图象.显然当2n+
3、=k(kZ),即n= - (kZ)时, 函数y=2cos 为偶函数.又n0,故当k=1时,n的值最小, 且最小值为 .故选C.,方法归纳 本例具有一定的综合性,主要考查辅助角公式、函数图象的平移 变换及三角函数的奇偶性,而新运算(a1,a2)(a3,a4)=a1a4-a2a3的功 能就是间接给出函数f(x)的解析式.,定义一种运算“”,对于任意nN*均满足以下运算性质:2 2 017=1;(2n+2)2 017=(2n)2 017+3,则2 0182 017= .,答案 3 025,解析 设an=(2n)2 017,则由运算性质知a1=1,由运算性质知 an+1=an+3,即an+1-an=3
4、. 于是,数列an是等差数列,且首项为1,公差为3. 故2 0182 017=(21 009)2 017=a1 009=1+1 0083=3 025.,题型二 设置“新定义”“新定义”试题是指给出一个考生从未接触过的新规定、 新概念,要求考生利用“新定义”解决问题,其目的是考查考生的 阅读理解能力、应变能力和创新能力,培养学生自主学习、主动 探究的品质.此类问题可能以文字的形式出现,也可能以数学符号 或数学表达式的形式出现,要求考生要先准确理解“新定义”的 特点,再加以灵活运用.特别提醒:“给什么,用什么”是应用“新 定义”解题的基本思路.,例 我们将具有性质f =-f(x)的函数,称为满足“
5、倒负”变换的 函数.给出下列函数:f(x)=ln ;f(x)= ;f(x)= 其中满足“倒负”变换的函数是 ( ) A. B. C. D.,答案 C,解析 对于函数,因为f =ln =ln -f(x),所以不满足 “倒负”变换;对于函数,因为f = = =-f(x),所以满 足“倒负”变换;对于函数,因为f = 即f =,所以f =-f(x),故满足“倒负”变换.综上可知,选C.,方法归纳 本题是在现有函数性质的基础上定义的一种新的函数性质,考查 在新情境下,灵活运用有关函数知识求解“新定义”类数学问题 的能力.求解本题的关键是先准确写出f 的表达式,并加以整 理,再具体考虑f 与-f(x)是
6、否相等.,若数列an满足 - =d(nN*,d为常数),则称数列an为“调和 数列”,已知正项数列 为“调和数列”,且b1+b2+b2 019=20 190,则b2b2 018的最大值是 .,答案 100,解析 因为数列 是“调和数列”,所以bn+1-bn=d, 即数列bn是等差数列, 所以b1+b2+b2 019= = =20 190,所以b 2+b2 018=20. 又 0,所以b20,b2 0180, 所以b2+b2 018=202 , 即b2b2 018100(当且仅当b2=b2 018时等号成立),因此b2b2 018的最大值 为100.,题型三 设置“新考查方向”“新考查方向”试题
7、是指试题考查的方式、方法与常规试 题不同,此类试题设计新颖,注重对所学数学知识、方法的有效整 合,侧重考查考生的综合运用能力.此类问题的设置充分体现了考 纲要求对数学基础知识的考查,注重学科的内在联系和知识 的综合性,在知识网络的交汇点处设计试题,使对数学基础知识的 考查达到必要的深度;对数学能力的考查,强调“以能力立意”, 侧重体现对知识的理解和应用,尤其是综合和灵活的应用,以此来 检测考生将知识迁移到不同情境的能力,从而检测出考生的理性 思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.,例 某高中从高三年级甲、乙两个班各选出7名学生参加全国高 中数学联赛,他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所
8、示,其 中甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86.若正 实数a,b满足a,G,b成等差数列且x,G,y成等比数列,则 + 的最小 值为 .,答案,解析 由题意及茎叶图可知80+x=81, =86,则x=1,y=4. 因为正实数a,b满足a,G,b成等差数列且x,G,y成等比数列,所以2G =a+b,G2=xy=4,所以a+b=4,所以 + = = + + + 2 = ,当且仅当b=2a= 时取等号.,方法归纳 本题以统计、数列知识为背景,考查基本不等式的运用,设计新 颖,综合性强,体现了在知识交汇处命题的特点.根据样本的数字 特征及茎叶图求得x,y的值,并利用等差、等比中项建立关于a,b 的等量关系,将问题转化为常规的基本不等式求最值问题.,已知三棱锥O-ABC,OA,OB,OC两两垂直,且OA=OB= ,OC=1,P 是ABC内任意一点,设OP与平面ABC所成的角为x,OP=y,则y关 于x的函数的图象是 ( ),答案 B 设点O在平面ABC内的射影为O,连接OO,OP,OP,根 据等体积得OO= . 因为OOP= ,所以OP= ,即y= .易知x ,所以 选B.,
