1、第2讲 基本初等函数、函数与方程,总纲目录,考点一 基本初等函数的图象与性质,指数函数与对数函数的图象与性质,例 (1)(2017课标全国文,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增 区间是 ( ) A.(-,-2) B.(-,1) C.(1,+) D.(4,+) (2)(2018天津,5,5分)已知a=log3 ,b= ,c=lo ,则a,b,c的大小 关系为 ( ) A.abc B.bac C.cba D.cab,答案 (1)D (2)D,解析 (1)由x2-2x-80,可得x4或xlog33=1, c=lo =log35log3 =a,cab.故选D.,方法归纳,基本初等
2、函数图象与性质的应用技巧 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值,当底数 a的值不确定时,要注意分a1和00和0两种情况的不同.,1.若函数y=a|x|(a0,且a1)的值域为y|y1,则函数y=loga|x|的图 象大致是 ( ),答案 B 由于y=a|x|的值域为y|y1,则a1,所以y=logax在(0, +)上是增函数.又函数y=loga|x|的图象关于y轴对称,所以y=loga|x |的图象应大致为选项B.,2.(2018课标全国文,16,5分)已知函数f(x)=ln( -x)+1, f(a)= 4,则f(-a)= .,答案 -2,解析 本题考查函数的奇偶性. 易知f(
3、x)的定义域为R, 令g(x)=ln( -x),则g(x)+g(-x)=0.g(x)为奇函数. f(a)+f(-a)=2.又f(a)=4,f(-a)=-2.,解题关键 观察出函数g(x)=ln( -x)为奇函数.,考点二 函数的零点,函数的零点与方程根、函数图象的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的 图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.,命题角度一 确定函数零点的个数或其存在范围,例1 (1)已知x0是f(x)= + 的一个零点,x1(-,x0),x2(x0,0), 则 ( ) A.f(x1)0, f(x2)0 C.f(x1)0
4、, f(x2)0(2)(2018课标全国,15,5分)函数f(x)=cos 在0,上的 零点个数为 .,答案 (1)C (2)3,解析 (1)因为x0是函数f(x)= + 的一个零点,所以f(x0)=0.因为f (x)= + 在(-,0)和(0,+)上是单调递减函数,且x1(-,x0),x2 (x0,0),所以f(x1)f(x0)=0f(x2). (2)本题考查函数与方程. 令f(x)=0,得cos =0,解得x= + (kZ).当k=0时,x= ;当k= 1时,x= ;当k=2时,x= .又x0,所以满足要求的零点有3个.,方法归纳,判断函数零点个数的方法,例2 (2018江苏,11,5分)
5、若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内 有且只有一个零点,则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为 .,命题角度二 根据函数的零点求参数的取值(范围),答案 -3,解析 本题考查利用导数研究函数的极值和最值. f(x)=2x3-ax2+1,f (x)=6x2-2ax=2x(3x-a). 若a0,则x0时, f (x)0,f(x)在(0,+)上为增函数.又f(0)=1, f(x)在(0,+)上没有零点.a0. 当0 时, f (x)0, f(x)为增函 数,x0时, f(x)有极小值,为f =- +1.f(x)在(0,+)内有且 只有一个零点, f =0,即- +1=0.
6、a=3.,f(x)=2x3-3x2+1,则f (x)=6x(x-1). 当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:,f(x)在-1,1上的最大值为1,最小值为-4. 最大值与最小值的和为-3.,方法归纳,利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法,1.已知实数a1,0b1,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是 ( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2),答案 B a1,00.由零点存在性定理可知,f(x)的零点在区间(-1,0) 内.,2.定义在R上的奇函数f(x),当x0时,f(x)= 则关 于x的函数F(x)=f(x)-a(0a1)的
7、零点个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 D 因为f(x)为奇函数,所以x0时,f(x)=-f(-x) = 画出函数y=f(x)和y=a(0a1)的图象如图.两函数图象共有5个交点,所以F(x)有5个零点.,考点三 函数的实际应用,函数的三种常见模型及求法 (1)构建二次函数模型,常用配方法、数形结合、分类讨论思想求 解. (2)构建分段函数模型,应用分段函数分段求解的方法. (3)构建f(x)=x+ (a0)模型,常用基本不等式、导数等知识求解.,例 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情 况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满 足如图所示的曲
8、线. 当t(0,14时,曲线是二次函数图象的一部分,当t(14,40时,曲 线是函数y=loga(t-5)+83(a0且a1)图象的一部分.根据专家研 究,当注意力指数p80时听课效果最佳.,(1)试求p=f(t)的函数解析式; (2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳? 请说明理由.,解析 (1)当t(0,14时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c0).将点(14,81)代 入,可求得c=- . 所以,当t(0,14时,p=f(t)=- (t-12)2+82. 当t(14,40时,将点(14,81)代入y=loga(t-5)+83,可求得a= . 所以p=f(t)=
9、(2)当t(0,14时,令- (t-12)2+8280,解得12-2 t12+2 .所 以12-2 t14.,当t(14,40时,令lo (t-5)+8380,解得5t32.所以14t32. 综上,t12-2 ,32,即老师在t12-2 ,32时段内安排核心内 容能使得学生的听课效果最佳.,方法归纳,解决函数实际应用题的两个关键点 (1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,然后 进行科学概括,将实际问题归纳为相应的数学问题. (2)要合理选取参数变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内 在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模 型,最终求解函数模型使实际问题
10、获解.,1.某市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行,决定把三环 内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设.已知仓库每月占用 费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓 库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓 库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么,要使这两项费用之 和最小,仓库应建在离车站 ( ) A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处,答案 A 设仓库应建在离车站x千米处.仓库每月占用费y1 与仓库到车站的距离成反比,令反比例系数为m(m0),则y1= . 当x=10时,y1= =2,m=20.每月车载货物的运费y2与仓库到
11、车 站的距离成正比,令正比例系数为n(n0),则y2=nx.当x=10时,y2= 10n=8,n= .两项费用之和为y=y1+y2= + 2 =8,当 且仅当 = ,即x=5时,取等号.要使这两项费用之和最小,仓库 应建在离车站5千米处.故选A.,2.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数 关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品 在33 的保鲜时间是 小时.,答案 24,解析 依题意,有192=eb,48=e22k+b=e22keb, 所以e22k= = = .所以e11k= 或- (舍去),于是该食品在33 的 保鲜时间是e33k+b=(e11k)3eb= 192=24(小时).,
