1、第4讲 导数的综合应用,总纲目录,考点一 利用导数证明不等式,例 (2018课标全国文,21,12分)已知函数f(x)=aex-ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a 时, f(x)0.,解析 (1)f(x)的定义域为(0,+), f (x)=aex- . 由题设知, f (2)=0,所以a= . 从而f(x)= ex-ln x-1, f (x)= ex- . 当02时, f (x)0. 所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增. (2)当a 时, f(x) -ln x-1. 设g(x)= -ln x-1,则g(x)
2、= - .,当01时,g(x)0. 所以x=1是g(x)的最小值点. 故当x0时,g(x)g(1)=0. 因此,当a 时, f(x)0.,方法总结 利用导数证明不等式的常用方法: (1)证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),若f (x)0, 则F(x)在(a,b)上是增函数,同时若F(a)0,由增函数的定义可知,x (a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)g(x).,方法归纳,用导数证明不等式的方法 (1)利用单调性:若f(x)在a,b上是增函数,则xa,b,有f(a) f(x)f(b);x1,x2a,b,且x1x2,有f(x1)f(x2).对于减函
3、数有类似 结论. (2)利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则x D,有f(x)M(或f(x)m). (3)证明f(x)g(x),可构造函数F(x)=f(x)-g(x),证明F(x)0.,设函数f(x)=ax2- -ln x,曲线y=f(x)在x=2处与直线2x+3y=0垂直. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当x1时,证明:f(x) -e1-x.,解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+),f (x)=2ax- . 由已知,得f (2)= ,即4a- = .所以a= . 所以f (x)=x- = . 由f (x)0,得x1; 由f (x)1, 则g (x)=
4、x- + -e1-x.,-e1-x= , 令h(x)=ex-1-x(x1),则h (x)=ex-1-1. 当x1时,h (x)0, 所以h(x)在(1,+)上为增函数. 所以h(x)h(1)=0. 所以 -e1-x0,即-e1-x- . 所以g (x)x- + . 而x- + = 0, 所以g (x)0.,所以g(x)在(1,+)上为增函数. 所以g(x)g(1)=0,即f(x) -e1-x.,考点二 利用导数解决不等式恒成立、存在性问题,例1 (2018陕西质检一)设函数f(x)=ln x+ ,kR. (1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线与直线x-2=0垂直,求f(x)的单 调
5、性和极小值(其中e为自然对数的底数); (2)若对任意的x1x20,f(x1)-f(x2)x1-x2恒成立,求k的取值范围.,解析 (1)由条件,得f (x)= - (x0). 曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线与直线x-2=0垂直, f (e)=0,即 - =0, k=e. f (x)= - = (x0). 由f (x)0,得xe. f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+)上单调递增, 当x=e时,f(x)取得极小值,且极小值为f(e)=ln e+ =2. f(x)的极小值为2.,(2)由题意知,对任意的x1x20,f(x1)-x10), 则h(x)在(0,+)上单调递减. h
6、(x)= - -10在(0,+)上恒成立. 当x0时,k-x2+x=- + 恒成立. k . 故k的取值范围是 .,方法归纳 破解此类以函数为背景的不等式恒成立问题需要“一构造、一 分类”.“一构造”是指通过不等式的同解变形,构造一个与背景 函数相关的函数;“一分类”是指在不等式恒成立问题中,常需对 参数进行分类讨论,求出参数的范围.有时也可以利用分离参数 法,即将不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利 用导数求该函数的最值.一般地,af(x)对xD恒成立,只需af(x) max;af(x)对xD恒成立,只需af(x)min.,设aR,已知函数f(x)=ax3-3x2. (1)求函
7、数f(x)的单调区间; (2)设g(x)=f(x)+f (x),若x1,3,有g(x)0,求实数a的取值范围.,解析 (1)f (x)=3ax2-6x.当a=0时,f (x)=-6x. 令f (x)0,得x0. 当a0时,令f (x)0,得x 或x0,得 0. 综上所述,当a=0时,f(x)的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为 (0,+); 当a0时,f(x)的单调递增区间为(-,0), ,单调递减区间为,; 当a0时,f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ,(0, +). (2)依题意,x1,3,ax3-3x2+3ax2-6x0, 等价于不等式a = 在x1,3有解. 令h(x)
8、= (x1,3), 则h (x)=- =- 0. 所以h(x)在1,3上是减函数.,所以h(x)的最大值为h(1)= .所以a , 即实数a的取值范围为 .,考点三 利用导数研究函数的零点或方程的根,例 (2018课标全国文,21,12分)已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1). (1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点.,解析 (1)当a=3时,f(x)= x3-3x2-3x-3, f (x)=x2-6x-3. 令f (x)=0,解得x=3-2 或x=3+2 . 当x(-,3-2 )(3+2 ,+)时,f (x)0; 当x(3-2 ,3+2 )时,f (
9、x)0,所以f(x)=0等价于 -3a=0. 设g(x)= -3a,则g(x)= 0,当且仅当x=0时g(x),=0.所以g(x)在(-,+)上单调递增. 故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点. 又f(3a-1)=-6a2+2a- =-6 - 0,故f(x)有一个 零点. 综上,f(x)只有一个零点.,利用导数研究函数零点的方法: 方法一:(1)利用导数求出函数f(x)的单调区间和极值; (2)根据函数f(x)的性质作出图象; (3)判断函数零点的个数. 方法二:(1)利用导数求出函数f(x)的单调区间和极值; (2)分类讨论,判断函数零点的个数.,方法总结,方法归纳,三步解决
10、方程解(或曲线公共点)的个数问题 第一步:将问题转化为函数的零点个数问题,进而转化为函数的图 象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点个数问题; 第二步:利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值、端点 值等性质,进而画出其图象; 第三步:结合图象求解.,已知函数f(x)=ex-1,g(x)= +x,其中e是自然对数的底数,e=2.718 28. (1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点; (2)求方程f(x)=g(x)的根的个数,并说明理由.,解析 (1)由题意,可得h(x)=f(x)-g(x)=ex-1- -x. 所以h(1)=e-30.所以h(1)h(2)0. 所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点. (2)方程f(x)=g(x)的根的个数为2,理由如下: 由(1)可知,h(x)=f(x)-g(x)=ex-1- -x. 由g(x)= +x知x0,+). 而h(0)=0,则x=0为h(x)的一个零点. 又h(x)在(1,2)内有零点, 所以h(x)在0,+)上至少有两个零点. 又h(x)=ex- -1,记(x)=ex- -1, 则(x)=ex+ . 当x(0,+)时,(x)0, 所以(x)在(0,+)上单调递增, 易知(x)在(0,+)内只有一个零点, 则h(x)在0,+)上有且只有两个零点, 所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2.,
