1、第6讲 三角恒等变换与解三角形,总纲目录,考点一 三角恒等变换,1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin()=sin cos cos sin ; (2)cos()=cos cos sin sin ; (3)tan()= .,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2=2sin cos ; (2)cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2; (3)tan 2= .,例 (2018四川成都第一次诊断性检测)已知sin = , , 则cos 的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A,解析 sin = , ,cos = , sin 2=2sin cos =
2、2 = = , cos 2=1-2sin2=1-2 =1- = , cos = - = .,方法归纳,三角恒等变换的“4大策略” (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2+cos2=tan 45等; (2)项的拆分与角的配凑:如sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=( -)+等; (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次; (4)弦、切互化:一般是切化弦.,1.若 =- ,则sin 的值为 ( ) A. B.- C. D.-,答案 C = =-2sin =- ,所以sin= .,2.已知tan =2,tan =-3,则tan(-)= ( ) A.1
3、B.- C. D.-1,答案 D tan =tan =tan =-3,而-=- ,所以tan(-)=tan = =-1.故选D.,考点二 正弦定理与余弦定理,1.正弦定理及其变形 在ABC中, = = =2R(R为ABC的外接圆半径). 变形:a=2Rsin A,sin A= , abc=sin Asin Bsin C.,2.余弦定理及其变形 在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. 变形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A= , a2+c2-b2=2accos B,cos B= , a2+b2-c
4、2=2abcos C,cos C= .,3.三角形面积公式 SABC= absin C= bcsin A= acsin B.,命题角度一:利用正(余)弦定理进行边角计算,例1 (2018课标全国,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC= 90,A=45,AB=2,BD=5. (1)求cosADB; (2)若DC=2 ,求BC.,解析 (1)在ABD中,由正弦定理得 = . 由题设知, = ,所以sinADB= . 由题设知,ADB90,所以cosADB= = . (2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB= . 在BCD中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2BDDCcosB
5、DC =25+8-252 =25.,所以BC=5.,方法归纳,正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采 用正弦定理. (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采 用余弦定理.,【注意】 应用定理要注意“三统一”,即“统一角、统一函 数、统一结构”.,例2 在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c= ,sin A= sin C,cos 2A=- . (1)求a的值; (2)若角A为锐角,求b的值及ABC的面积.,命题角度二:利用正(余)弦定理进行面积计算,解析 (1)在ABC中, 因为c= ,sin A= sin C, 由
6、= ,得a= c= =3 . (2)由cos 2A=1-2sin2A=- 得,sin2A= . 由0A 得,sin A= ,则cos A= = , 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 得(3 )2=b2+( )2-2b , 化简得,b2-2b-15=0,解得b=5或b=-3(舍).,所以SABC= bcsin A= 5 = .,方法归纳,三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S= absin C= acsin B= bcsin A,一般是已知哪 一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和 角的转化.,例3 某新建的信号发射塔的高度为
7、AB,且设计要求为29米AB 29.5米.为测量塔高是否符合要求,先取与发射塔底部B在同一水 平面内的两个观测点C,D,测得BDC=60,BCD=75,CD=40米, 并在点C处的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30,且CE=1 米,则发射塔高AB= ( ) A.(20 +1)米 B.(20 +1)米 C.(40 +1)米 D.(40 +1)米,命题角度三:正、余弦定理的实际应用,答案 A,解析 过点E作EFAB,垂足为F,则EF=BC,BF=CE=1米,AEF= 30,在BDC中,由正弦定理得BC= = =20 (米).在RtAEF中,AF=EFtanAEF=20 =20 (米),所以 A
8、B=AF+BF=(1+20 )米,符合设计要求.故选A.,方法归纳,解三角形实际问题的步骤,1.在ABC中,若A,B,C成等差数列,且AC= ,BC=2,则A= ( ) A.135 B.45 C.30 D.45或135,答案 B 因为A,B,C成等差数列,所以B=60.由正弦定理,得 = ,则sin A= .又ACBC,所以60A,故A=45.故选B.,2.(2018课标全国,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 若ABC的面积为 ,则C= ( ) A. B. C. D.,答案 C 本题考查解三角形及其综合应用. 根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C, 因为SA
9、BC= ,所以SABC= , 又SABC= absin C, 所以tan C=1,因为C(0,), 所以C= .故选C.,3.(2018河南郑州第一次质量检测)在ABC中,角A,B,C的对边分 别为a,b,c,且2ccos B=2a+b. (1)求角C; (2)若ABC的面积S= c,求ab的最小值.,解析 (1)解法一:由2ccos B=2a+b及余弦定理, 得2c =2a+b, 得a2+c2-b2=2a2+ab,即a2+b2-c2=-ab, cos C= = =- , 又0C,C= . 解法二: = = , 由已知可得2sin Ccos B=2sin A+sin B, 则有2sin Cco
10、s B=2sin(B+C)+sin B,2sin Bcos C+sin B=0,B为三角形的内角,sin B0,cos C=- . C为三角形的内角,C= . (2)S= absin C= c,sin C= ,c= ab. 又c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab, =a2+b2+ab3ab,ab12, 当且仅当a=b时取等号.故ab的最小值为12.,考点三 解三角形与三角函数的交汇问题,例 设函数f(x)=cos2x- sin xcos x+ . (1)求f(x)在 上的值域; (2)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B+C)= ,a= ,b +c=7,求
11、ABC的面积.,解析 (1)f(x)=cos2x- sin xcos x+ =cos +1, 因为x ,所以2x+ , 所以- cos 1, 所以 cos +12, 所以函数f(x)在 上的值域为 . (2)由f(B+C)=cos +1= ,得cos = , 又A(0,),得A= , 在ABC中,由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos =(b+c)2-3bc, 又a= ,b+c=7,所以5=49-3bc,解得bc= , 所以ABC的面积S= bcsin = = .,方法归纳,与解三角形有关的交汇问题的关注点 (1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化. (2)结合三角形内角和定理
12、、面积公式等,灵活运用三角恒等变换 公式.,已知向量a= ,b=(-sin x, sin x),f(x)=ab. (1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值; (2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f =1,a=2 , 求ABC面积的最大值.,解析 (1)易得a=(-sin x,cos x), 则f(x)=ab=sin2x+ sin xcos x = - cos 2x+ sin 2x=sin + , 所以f(x)的最小正周期T= =, 当2x- = +2k,kZ时, 即x= +k,kZ时,f(x)取最大值 . (2)因为f =sin + =1, 所以sin = A= .,因为a2=b2+c2-2bccos A, 所以12=b2+c2-bc, 所以b2+c2=bc+122bc, 所以bc12(当且仅当b=c时等号成立), 所以SABC= bcsin A= bc3 . 所以当ABC为等边三角形时面积取最大值3 .,
