1、第8讲 数列求和,总纲目录,考点一 利用Sn、an的关系式求an,在数列an中,an与Sn的关系: an=,1.已知数列an的前n项和Sn=2n-1,则 + + = ( ) A.(2n-1)2 B. (2n-1) C.4n-1 D. (4n-1),答案 D an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1(n2),n=1时,a1=S1=1,满 足上式, + + =1+22+24+22n-2= = (4n-1).故选D.,2.设数列an的前n项和为Sn,且2Sn=3an-1,则Sn= .,答案 (3n-1),解析 由2Sn=3an-1, 得2Sn-1=3an-1-1(n2), 由-
2、,得2an=3an-3an-1. =3(n2). 又2S1=3a1-1,2S2=3a2-1,a1=1,a2=3, =3. an是首项为1,公比为3的等比数列. Sn= = (3n-1).,3.已知数列an满足a1+2a2+3a3+nan=n+1(nN*),则数列an的 通项公式是 .,答案 an=,解析 当n=1时,a1=2;当n2时,a1+2a2+3a3+nan=n+1,所以a1+2 a2+3a3+(n-1)an-1=n,两式相减,得nan=(n+1)-n=1,an= .an=,方法归纳,给出Sn与an的递推关系求an的一般思路 一是利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为an的递推关系,再求
3、其通项公式; 二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.,考点二 数列求和,数列求和最常用的四种方法 (1)公式法: 适合求等差数列或等比数列的前n项和,对于等比数列,利用公式 法求和时,一定要注意q是否取1. (2)错位相减法: 这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,主要用于求数 列anbn的前n项和,其中an,bn分别是等差数列和等比数列.,(3)裂项相消法: 把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法, 适用于求数列 的前n项和.若an为等差数列,d为公差,则,= . (4)分组求和法: 一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆
4、开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分(即能分别求和),然后 再合并.,命题角度一 分组法求和,例1 设等差数列an的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列bn的前n 项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,nN*. (1)求数列an,bn的通项公式. (2)设cn= 求数列cn的前n项和Pn.,解析 (1)设等差数列an的公差为d.由题意,得 解得所以an=4n. 因为Tn-2bn+3=0, 所以当n=1时,b1=3;当n2时,Tn-1-2bn-1+3=0, 由-,得bn=2bn-1(n2). 所以数列bn为等比数列.所以bn=32n-1. (2)cn= 当n为偶数时,Pn=(a1+a3
5、+an-1)+(b2+b4+bn)= +,=2n+1+n2-2. 当n为奇数时, 解法一:n-1为偶数,Pn=Pn-1+cn=2(n-1)+1+(n-1)2-2+4n=2n+n2+2n-1. 解法二:Pn=(a1+a3+an-2+an)+(b2+b4+bn-1) = + =2n+n2+2n-1. 所以Pn=,方法归纳 在处理一般数列求和时,一般要注意使用转化思想,把一般的数列 求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时,要分析清楚 哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解,在 利用分组求和法求和时,有时数列的各项是正负交替的,所以一般 需要对项数n进行讨论,最后验证是否可以合
6、并为一个公式.,例2 (2018陕西质量检测一)已知在递增的等差数列an中,a1=2, a3是a1和a9的等比中项. (1)求数列an的通项公式; (2)若bn= ,Sn为数列bn的前n项和,求S100的值.,命题角度二 裂项相消法求和,解析 (1)设公差为d(d0),则an=a1+(n-1)d. a3是a1和a9的等比中项, =a1a9,即(2+2d)2=2(2+8d),解得d=0(舍去)或d=2. an=2+2(n-1)=2n. (2)由(1),得bn= = = . S100=b1+b2+b100 = = = .,方法归纳,1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项分成两项或多项,使这 些分开
7、的项出现有规律的相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了 哪些项.,2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后 边就剩倒数第几项.,例3 (2017天津,18,13分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11= 11b4. (1)求an和bn的通项公式; (2)求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).,命题角度三 错位相减法求和,解析 (1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由 已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12.而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2
8、或q=- 3.又因为q0,所以q=2.所以bn=2n. 由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8. 由S11=11b4,可得a1+5d=16. 联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n. (2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn. 由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n, 故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1. 上述两式相减,得 -3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n
9、+1 = -4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8. 所以Tn= 4n+1+ . 所以数列a2nb2n-1的前n项和为 4n+1+ .,方法归纳,应用错位相减法求和需注意的问题 (1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和,其中an为等差数 列,bn为等比数列. (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对 齐”,以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.,1.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1=1,S3=a5.令bn=(-1)n-1an,则 数列bn的前2n项和T2n= ( ) A.-n B.-2n C.n D.2n,答案 B 设等差数列an的
10、公差为d. 由S3=a5,得3a2=a5, 3(1+d)=1+4d,解得d=2. an=2n-1.bn=(-1)n-1(2n-1), T2n=1-3+5-7+(4n-3)-(4n-1)=-2n.故选B.,2.(2018郑州第二次质检)在各项均为正数的等比数列an中,a1=8, 且2a1,a3,3a2成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足bn= ,求bn的前n项和Sn.,解析 (1)设等比数列an的公比为q(q0). 2a1,a3,3a2成等差数列, 2a3=2a1+3a2,即2a1q2=2a1+3a1q. 2q2-3q-2=0,解得q=2或q=- (舍去). an=8
11、2n-1=2n+2. (2)由(1)可得bn= = = . Sn= =,= - = - .,考点三 数列中的不等式问题,例 设Sn为数列an的前n项和,已知a1=2,对任意nN*,都有2Sn= (n+1)an. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列 的前n项和为Tn,求证: Tn1.,解析 (1)因为2Sn=(n+1)an, 所以2Sn-1=nan-1(n2). 两式相减,得2an=(n+1)an-nan-1(n2), 即(n-1)an=nan-1(n2), 所以当n2时, = , 所以 = . 因为a1=2,所以an=2n. (2)证明:an=2n,令bn= ,nN*, 则bn= =
12、= - .,所以Tn=b1+b2+bn = + + =1- . 因为 0,所以1- 1. 因为y= 在N*上是递减函数, 所以y=1- 在N*上是递增函数. 所以当n=1时,Tn取得最小值 . 所以 Tn1.,方法归纳,解决数列与函数、不等式的综合问题的注意点 (1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数,在求数列最值或 不等关系时要特别注意; (2)解题时应准确构造函数,利用函数性质时应注意限制条件; (3)证明不等关系时进行适当的放缩.,(2018洛阳第一次统考)已知各项均不相等的等差数列an的前四 项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设Tn为数列 的前n项和,若Tnan+1对一切nN*恒成立, 求实数的最大值.,解析 (1)设数列an的公差为d(d0).由已知, 得 解得 或 (舍去). 所以an=n+1. (2)由(1)知 = - , 所以Tn= + + = - = . 又Tnan+1恒成立,所以 =2 +8.,而2 +816,当且仅当n=2时,等号成立, 所以16,即实数的最大值为16.,
