1、第5讲 尺规作图,1.能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.,2.会利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两 边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形.,3.会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆； 作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形.4.在尺规作图中，了解尺规作图的道理，保留作图痕迹，,不要求写作法.,1.(2017 年山东枣庄)如图4-5-1，在 RtABC 中，C90， 以顶点 A 为圆心
2、，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD4，AB15，,则ABD 的面积是(,),图 4-5-1,A.15,B.30,C.45,D.60,答案：B,2.(2017 年浙江衢州)下列图 4-5-2 四种基本尺规作图分别表 示：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点 P 作已知直线的垂线，则,对应选项中作法错误的是(,),图 4-5-2,A.,B.,C.,D.,答案：C,3.如图 4-5-3，已知AOB 和射线 OB，用尺规作图法,作AOBAOB(要求保留作图痕迹).,图 4-5-3,解：如图
3、D43：,图 D43,4.(2012 年广东)如图 4-5-4，在ABC 中，ABAC，ABC,72.,(1)用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D；(保,留作图痕迹，不要求写作法),(2)在(1)中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数.,图 4-5-4,解：(1)如图 D44.(2)在ABC 中，ABAC，ABC72，A1802ABC18014436.BD 是ABC 的平分线，BDC 是ABD 的外角，,BDCAABD363672.,图 D44,5.(2013 年广东)如图 4-5-5，已知平行四边形 ABCD.,(1)作图：延长 BC，并在 BC 的延长线上截
4、取线段 CE，使得 CEBC；(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)的条件下，连接 AE，交 CD 于点 F，求证：AFD,EFC.,图 4-5-5,(1)解：如图 D45.(2)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC.BCCE，ADCE.ADBC，DAFCEF.在AFD 和EFC 中，,图 D45,AFDEFC(AAS),基本作图与应用,例 1：(2017 年四川自贡)两个城镇 A，B 与一条公路 CD， 一条河流 CE 的位置如图 4-5-6，某人要修建一避暑山庄，要求 该山庄到 A，B 的距离必须相等，到 CD 和 CE 的距离也必须相 等，且在DC
5、E 的内部，请画出该山庄的位置 P.(不要求写作 法，保留作图痕迹.),图 4-5-6,思路分析根据角平分线的性质可知：到 CD 和 CE 的距离相等的点在ECD 的平分线上，所以第一步作：ECD 的平分线 CF；根据垂直平分线的性质可知：到 A，B 的距离相等的点在 AB 的垂直平分线上，所以第二步：作线段 AB 的垂直平分线 MN，其交点就是 P 点.,解：如图 4-5-7，作法：作ECD 的平分线 CF；,图 4-5-7,作线段 AB 的垂直平分线 MN；,MN 与 CF 交于点 P，则点 P 就是山庄的位置.,【试题精选】,1.(2017 年广西贵港)如图 4-5-8，尺规作图(不写作
6、法，保留,作图痕迹)：,已知线段 a 和AOB，点 M 在 OB 上. (1)在 OA 边上作点 P，使 OP2a； (2)作AOB 的平分线； (3)过点 M 作 OB 的垂线.,图 4-5-8,解：如图 D46，(1)点 P 为所求；(2)OC 为所求；(3)MD 为所求,图 D46,作图与证明,例 2：(2017 年福建)如图 4-5-9，ABC 中，BAC90，ADBC，垂足为 D.求作ABC 的平分线，分别交 AD，AC 于P，Q 两点；并证明 APAQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法),图 4-5-9,思路分析按作图方法作出角平分线 BQ，然后通过利用互为余角以及等角的余
7、角相等得到APQAQP，从而证得 APAQ.,解：如图 4-5-10，BQ 就是所求作的ABC 的平分线，P，,Q 就是所求作的点.,图 4-5-10,证明如下：ADBC，ADB90.BPDPBD90. BAC 90 ，AQP ABQ 90. ABQ PBD ，BPD AQP. BPD APQ ，APQAQP.APAQ.,【试题精选】,2.如图 4-5-11，在ABC 中，ABAC，DAC 是ABC,的一个外角.,实验与操作：,根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母.(保留作图,痕迹，不写作法),(1)作DAC 的平分线 AM；,(2)作线段 AC 的垂直平分线，与 AM 交于点 F，与
8、BC 边交,于点 E，连接 AE，CF.,猜想并证明：,猜想四边形 AECF 的形状并加以证明.,图 4-5-11,解：(1)如图 D47.,图 D47,(2)四边形 AECF 的形状为菱形理由如下：ABAC，ABCACB.AM 平分DAC，DAMCAM.,DACABCACB，CAMACB.EF 垂直平分 AC，,OAOC，AOFCOE.,AOFCOE.OFOE，即 AC 和 EF 互相垂直平分四边形 AECF 的形状为菱形名师点评中考通常以基本的尺规作图为载体，在具体情境中酝酿与构建图形之间的形状、位置、大小关系，进而对相关问题进行计算、探究、发现与证明.,作图与计算,例 3：(2017 年
9、浙江嘉兴)如图 4-5-12，已知ABC，B,40 .,(1)在图中，用尺规作出ABC 的内切圆 O，并标出O 与边 AB，BC，AC 的切点 D，E，F(保留痕迹，不必写作法);,(2)连接 EF，DF，求EFD 的度数.,图 4-5-12,思路分析(1)用尺规作图的方法，作出A 和C 的角平,分线的交点即为内切圆 O；,(2)由切线的性质可得ODBOEB90，已知B 的度 数，根据四边形内角和 360 度，可求得DOE，由圆周角定理 可求得EFD.,解：(1)如图 4-5-13，圆 O 即为所求.,图 4-5-13,(2)如图 4-5-13，连接 OD，OE，则 ODAB，OEBC.ODB
10、OEB90.又B40，DOE140.EFD70.,【试题精选】,3.(2016 年四川凉山州)如图 4-5-14，在边长为 1 的正方形网 格中，ABC 的顶点均在格点上，点 A，B 的坐标分别是 A(4,3)， B(4,1)，把ABC 绕点 C 逆时针旋转 90后得到A1B1C.,(1)画出A1B1C，直接写出点A1，B1的坐标； (2)求在旋转过程中，ABC 所扫过的面积.,图 4-5-14,解：(1)所求作A1B1C 如图 D48.,图 D48,由 A(4,3)，B(4,1)可建立如图 D48 所示的平面直角坐标系，则点 A1 的坐标为(1,4)，点 B1 的坐标为(1,4),1.(20
11、17 年广东)如图 4-5-15，在ABC 中，AB.(1)作边 AB 的垂直平分线 DE，与 AB，BC 分别相交于点 D，,E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；,(2)在(1)的条件下，连接 AE，若B50，求AEC 的度,数.,图 4-5-15,解：(1)如图 D49.,图 D49,(2)DE 是 AB 的垂直平分线， AEBE.,EABB50.,AECEABB100.,2.(2016 年广东)如图 4-5-16，已知ABC 中，D 为 AB 的中,点.,(1)请用尺规作图法作边 AC 的中点 E，并连接 DE；(保留,作图痕迹，不要求写作法),(2)在(1)条件下，若 DE4
12、，求 BC 的长.,图 4-5-16,解：(1)如图 D50.,图 D50,(2)由三角形中位线定理，知 BC2DE8.,3.(2015 年广东)如图 4-5-17，已知锐角三角形 ABC.,(1)过点 A 作 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D；(用尺规作,图法，保留作图痕迹，不要求写作法),DC 的长.,图 4-5-17,解：(1)如图 D51.,图 D51,(2)ADBC，ADBADC90.,4.(2014 年广东)如图 4-5-18，点 D 在ABC 的边 AB 上，,且ACDA.,(1)作BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E；(用尺规作图法，,保留作图痕迹，不要求写作法),(2)在(1)的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系.(不,要求证明),图 4-5-18,解：(1)如图 D52.,图 D52,(2)DEAC.,
