1、专题四 突破解答题之 3三角形,三角形是中考必考的内容.关于三角形的边、角和“三线”是中考命题的热点，既可以出现在小题中，也可以融入大题中，是研究几何综合题的基础，所以三角形的基本性质必须熟练掌握.全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰(边)三角形的判定与性质是中考命题的热点，既可以出现在简单的解答题中，也可以与特殊四边形、圆和函数形成综合题.以三角形为背景的应用题也是中考必考内容，一般考查解直角三角形和勾股定理的应用居多.,与三角形有关的边角计算例1：如图Z41，ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且 ACCDBDBE，A50，则CDE 的度数为,(,),图 Z4-1,A.
2、50,B.51,C.51.5,D.52.5,解析：ACCDBDBE，A50，,ACDA50，BDCB，BDEBED，BDCBCDA50，B25.,BBDEBED180，,CDE180CDABDE1805077.5,52.5.故选 D.,答案：D,解题技巧熟悉等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，并能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.,全等、相似和等腰三角形的证明与性质,例 2：(2017 年湖南株洲)如图 Z4-2 ，正方形 ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形 DEF 的斜边 EF 上，EF 与 BC 相交于点 G，连接 CF.,(
3、1)求证：DAEDCF；(2)求证：ABGCFG.,图 Z4-2,思路分析(1)由正方形ABCD 与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 即可得证.(2)由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到BAGBCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证.,证明：(1)正方形 ABCD，等腰直角三角形 EDF，ADCEDF90，ADCD，DEDF.ADEADFADFCDF.ADECDF.,DAEDCF.(2)如图Z4-3，延长BA 到M，交ED于点M，ADECDF.EADFCD，,即EAMMADBCDBCF.,图 Z4-3,在ADE 和CDF 中，,MA
4、DBCD90，EAMBCF.EAMBAG，BAGBCF.AGBCGF，ABGCFG.,与三角形有关的综合题,例 3：如图 Z4-4，ABC 是等腰直角三角形，C90，点 D 是 AB 的中点，点 P 是 AB 上的一个动点(点 P 与点 A，B不重合)，矩形 PECF 的顶点 E，F 分别在 BC，AC 上.,(1)探究 DE 与 DF 的关系，并给出证明；,(2)当点 P 满足什么条件时，线段 EF 的长最短？(直接给出,结论，不必说明理由),图 Z4-4,思路分析(1)连接CD，首先根据ABC 是等腰直角三角形，C90，点D 是AB 的中点得到 CDAD，CDAD，然后根据四边形 PECF
5、 是矩形得到APF 是等腰直角三角形，从而得到DCEDAF，证得 DEDF，DEDF；而得到当 DE 和 DF 同时最短时，EF 最短得到此时点P 与点D重合线段 EF 最短.,解：(1)DEDF，DEDF.,证明如下：如 Z4-5，连接CD.,图 Z4-5,ABC 是等腰直角三角形，C90，点D 是AB 的中,点，CDAD，CDAD.四边形PECF 是矩形，,CEFP，FPCB.,APF 是等腰直角三角形.AFPFEC.,DCEA45，DCEDAF(SAS).,DEDF，ADFCDE.CDA90，EDF90.,DEDF，DEDF.,(2)DEDF，DEDF，,当 DE 和 DF 同时最短时，
6、EF 最短.当 DFAC，DEBC 时，二者最短.此时点 P 与点 D 重合.,点 P 与点 D 重合时，线段 EF 最短.,名师点评与三角形相关的综合题一般与四边形、圆或函数紧密相连，运用旋转、对称等图形变化方式加以对问题的进一步探究是常见的命题方式.解决此类题型一般离不开三角形的基本性质.,解直角三角形与勾股定理的应用,例 4：(2017 年甘肃天水)如图 Z4-6，一艘轮船位于灯塔 P南偏西 60方向的 A 处，它向东航行 20 海里到达灯塔 P 南偏西45方向上的 B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离.(结果保留根号),图 Z4-6,图 Z4-7,解：如图 Z4-7，ACPC，APC60，BPC45， AB20 海里. 设 BCx 海里，则 ACABBC(20x)海里. 在PBC 中，BPC45， PBC 为等腰直角三角形. PCBCx 海里.,
