1、选修45 不等式选讲,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b| ,当且仅当 时,等号成立; (2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c| ,当且仅当时,等号成立.,|a|+|b|,ab0,|a-b|+|b-c|,(a-b)(b-c)0,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法 |x|axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c ; |ax+b|c . (3)|x-a|+|x-
2、b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2ab,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.柯西不等式 (1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设,是两个向量,则|,当且仅当是零向量或存在实数k,使=k时
3、,等号成立.,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.不等式证明的方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.,2,-7-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)对|a-b|a|+|b|当且仅当ab0时等号成立.( ) (2)|a+b|+|a-b|2a|.( ) (3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和. ( ) (4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”. ( ) (5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则nm.( ),答案,-8-,知识梳理,双基自测,2,3
4、,4,1,5,A.2a3 B.1a2 C.1a3 D.1a4,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.已知x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,则x+y的取值范围为 .,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.对于绝对值三角不等式,易忽视等号成立的条件.对|a+b|a|-|b|,当且仅当a-b0时,等号成立;对|a|-|b|a-b|a|+|b|,当且仅当|a|b|,且ab0时左边等号成立,当且仅当
5、ab0时右边等号成立. 2.解形如|x-a|+|x-b|c(c0)的不等式一般利用零点分段法求解. 3.求函数y=|x-a|+|x-b|的最值问题,一般利用绝对值三角不等式,但要找出等号成立的条件,只有等号成立,才存在最值.,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例1已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围. 思考含绝对值不等式的常见解法有哪些?,当x2时,由f(x)1解得x2. 所以f(x)1的解集为x|x1.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(2)由f(x)x2-
6、x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x |x|+1+|x|-2-x2+|x|,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得含绝对值不等式的常见解法有: (1)基本性质法:对aR+,|x|axa. (2)平方法:两边平方去掉绝对值符号. (3)零点分区间法:含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解. (4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解. (5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数
7、图象求解,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练1已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)在图中画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(1)证明:f(x)2; (2)若f(3)5,求a的取值范围. 思考如何求y=|x-a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值?,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得求y=|x-
8、a|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的最值,利用绝对值三角不等式最方便.形如y=|x-a|+|x-b|的函数只有最小值,形如y=|x-a|-|x-b|的函数既有最大值又有最小值.,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练2设函数f(x)=|x+1|-m|x-2|. (1)若m=1,求函数f(x)的值域; (2)若m=-1,求不等式f(x)3x的解集.,解:(1)当m=1时,f(x)=|x+1|-|x-2|. |x+1|-|x-2|(x+1)-(x-2)|=3, -3|x+1|-|x-2|3,即函数f(x)的值域为-3,3. (2)当m=-1时,不等式f(x)3x,即
9、|x+1|+|x-2|3x. 当x3x,解得x3x,解得x2时,得x+1+x-23x,解得x3x的解集为(-,1).,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例3已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围. 思考求解含参数的绝对值不等式问题的常用基本方法是什么?,解:(1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 当x-1时,式化为x2-3x-40,无解; 当-1x1时,式化为x2-x-20,从而-1
10、x1;,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(2)当x-1,1时,g(x)=2. 所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等价于当x-1,1时f(x)2. 又f(x)在-1,1的最小值必为f(-1)与f(1)之一, 所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1. 所以a的取值范围为-1,1.,解题心得求解含参数的绝对值不等式问题,常用的基本方法是根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后数形结合解决.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练3(2018山东济南一模)已知函数f(x)=|2x-2|-|x+2|. (1)求不等式f(x)6的解集;
11、(2)当xR时,f(x)-x+a恒成立,求实数a的取值范围.,解:(1)当x-2时,f(x)=-x+4. 由f(x)6,得-x+46,解得x-2,故x-2; 当-2x1时,f(x)=-3x. 由f(x)6,得-3x6,解得x-2,故x; 当x1时,f(x)=x-4. 由f(x)6,得x-46,解得x10,故x10. 综上可知,f(x)6的解集为(-,-210,+).,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(解法一)如图所示,作出函数f(x)的图象. 由图象知,当x=1时,-1+a-3,解得a-2, 故实数a的取值范围为(-,-2. (解法二)当x-2时,-x+4-x+a恒成立,则a
12、4; 当-2x1时,-3x-x+a恒成立,则a-2; 当x1时,x-4-x+a恒成立,则a-2. 综上,实数a的取值范围为(-,-2.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(1)求M; (2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|. 思考证明不等式常用的方法有哪些?,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(2)由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0. 因此|a+b|1+ab|.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得证明不等式常用的方法: (1)比较法证
13、明不等式,比较法又包含作差比较法和作商比较法. (2)用分析法证明不等式,使用分析法证明的关键是寻找推理的每一步的充分条件. (3)用综合法证明不等式,在用综合法证明不等式时,常用到不等式的性质和基本不等式等.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练4已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,解:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,所以(a+b)38,因此a+b2
14、.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,例5已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4. (1)求a+b+c的值;思考如何利用柯西不等式证明不等式或求最值?,解 (1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c |(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c, 当且仅当-axb时,等号成立. 又a0,b0,所以|a+b|=a+b, 所以f(x)的最小值为a+b+c. 又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解题心得1.用柯西不等式证明时,一般
15、需要对不等式变形,使之与柯西不等式有相似的结构,然后根据柯西不等式的结构特征,利用柯西不等式进行证明.,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对点训练5已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4. (1)求实数a,b的值;,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,1.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法 (1)分离参数法:运用“f(x)a恒成立f(x)maxa,f(x)a恒成立f(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题. (2)数形结合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立问题时,若能作出两个函数的图象,通过图象
16、的位置关系可直观解决问题. 2.含绝对值不等式的证明,可用“零点分段法”讨论去掉绝对值符号,也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推广形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|. 3.利用柯西不等式求最值,实质上就是利用柯西不等式进行放缩,放缩不当则等号可能不成立,因此,要切记检验等号成立的条件.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,1.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏. 2.在利用算术-几何平均不等式或柯西不等式求最值时,要注意检验等号成立的条件,特别是多次使用不等式时,必须使等号同时成立.,-38-,思想方法利用算术-几何平均不等式求最值 利用算术-几何平均不等式求最值是一种较为简便的数学方法,也是不等式问题中的一个重要类型,它解决了利用基本不等式求最值范围受限的问题,用此方法求最值关键要抓住算术-几何平均不等式的结构特点和使用条件.,-39-,解:因为a,b,c是正实数, 由算术-几何平均不等式可得,-40-,并确定当a,b,c为何值时,等号成立. 证明:因为a,b,c均为正数, 由算术-几何平均不等式得,
