1、高考大题增分专项一 高考中的函数与导数,-2-,从近五年的高考试题来看,高考对函数与导数的考查,已经从直接利用导数的正负讨论函数的单调区间,或利用函数单调性求函数的极值、最值问题,转变成利用求导的方法证明不等式,探求参数的取值范围,解决函数的零点、方程根的问题,以及在某不等式成立的条件下,求某一参数或某两个参数构成的代数式的最值.,-3-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略一 差函数法 证明函数不等式f(x)g(x),可证f(x)-g(x)0,令h(x)=f(x)-g(x),或令h(x)为f(x)-g(x)表达式的某一部分,利用导数证明h(x)min0;如果h(x)没有最
2、小值,那么可利用导数确定出h(x)的单调性,即若h(x)0,则h(x)在(a,b)上是增函数,同时若h(a)0,则当x(a,b)时,有h(x)0,即f(x)g(x).,-4-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,例1设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性;,(3)设c1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.,(1)解:(导数与函数的单调性),令f(x)=0解得x=1. 当00,f(x)单调递增; 当x1时,f(x)0,f(x)单调递减. (2)证明:由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0. 所以当x1时,ln xx-1.,-5-
3、,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,(3)证明:由题设c1,(构造函数) 设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g(x)=c-1-cxln c,当x0,g(x)单调递增; 当xx0时,g(x)0,g(x)单调递减.,又g(0)=g(1)=0,故当00. 所以当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.,-6-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,对点训练1已知函数f(x)=ax+ln x,函数g(x)的导函数g(x)=ex,且g(0)g(1)=e,其中e为自然对数的底数. (1)若x(0,+),使得不等式g(x) 成立,试求实数m的取值范围; (2)当a=0时,对于x(0
4、,+),求证:f(x)g(x)-2.,-7-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,(1)解:因为函数g(x)的导函数g(x)=ex, 所以g(x)=ex+c(c为常数). 因为g(0)g(1)=e,所以(1+c)e=e,可得c=0,即g(x)=ex.,-8-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,所以h(x)在(0,+)上为减函数, 所以h(x)h(0)=3,所以m3.,-9-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,(2)证明:当a=0时,f(x)=ln x,令(x)=g(x)-f(x)-2, 即(x)=ex-ln x-2,因为当x(0,t)时,(x)0,(x)
5、在t,+)内为增函数, 故(x)min=(t)=et-ln t-2=et-ln e-t-2=et+t-2.,-10-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略二 求最值法 求最值法证明函数不等式,一般依据表达式的组成及结构有两种不同的证明方法: (1)要证f(x)h(x),可令(x)=f(x)-h(x),只需证明(x)min0. (2)要证f(x)h(x),可证f(x)minh(x)max;要证f(x)m,可将该不等式转化为g(x)h(x)的形式,然后再证明g(x)minh(x)max. 选用哪种方式,要看哪种方式构造出的函数的最值易求.,-11-,题型一,题型二,题型三,策略
6、一,策略二,策略三,(1)求函数f(x)在区间1,e2上的最值;,当x1,e)时,f(x)0;当x(e,e2时,f(x)0. 故f(x)在区间1,e)内单调递增,在区间(e,e2上单调递减.,-12-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-13-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,对点训练2(2018山东威海二模)已知函数f(x)= x2+ax-aex,g(x)为f(x)的导函数. (1)求函数g(x)的单调区间; (2)若函数g(x)在R上存在最大值0,求函数f(x)在0,+)上的最大值; (3)求证:当x0时,x2+2x+3e2x(3-2sin x).,(1)解:
7、由题意可知,g(x)=f(x)=x+a-aex,则g(x)=1-aex, 当a0时,g(x)0,g(x)在(-,+)上单调递增; 当a0时,若x0,若x-ln a,则g(x)0时,g(x)的单调递增区间为(-,-ln a),单调递减区间为(-ln a,+).,-14-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,(2)解:由(1)可知,a0且g(x)在x=-ln a处取得最大值,当a(0,1)时,h(a)0. h(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+)单调递增, h(a)h(1)=0,当且仅当a=1时,a-ln a-1=0,由题意可知f(x)=g(x)0,f(x)在0,+)上单调递减,
8、f(x)在x=0处取得最大值f(0)=-1.,-15-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,(3)证明:由(2)可知,若a=1,当x0时,f(x)-1,可得x2+2x2ex-2,x2+2x+3-e2x(3-2sin x)2ex-2+3-e2x(3-2sin x), 令F(x)=e2x(2sin x-3)+2ex+1=exex(2sin x-3)+2+1,即证F(x)0, 令G(x)=ex(2sin x-3)+2,G(x)0,G(x)在0,+)上单调递减,G(x)G(0)=-1, F(x)-ex+10,当且仅当x=0时等号成立, x2+2x+3e2x(3-2sin x).,-16-,
9、题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略三 寻求导函数零点法 若使用策略一或策略二解答时,遇到令f(x)=0,但无法解出导函数的零点x0时,可利用函数零点存在性定理,试出导函数在区间(a,b)内的零点x0,再判断导函数在区间(a,x0),(x0,b)的正负情况,从而判断f(x)在x0处取得最值,求出最值并通过对最值的处理消去x0使问题得到解决.,-17-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,例3设函数f(x)=e2x-aln x. (1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数;,当a0时,f(x)0,f(x)没有零点, 当a0时,因为y=e2x在区间(0,+)内单调
10、递增,y=- 在区间(0,+)内单调递增, 所以f(x)在区间(0,+)内单调递增.,-18-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,(2)证明:由(1),可设f(x)在区间(0,+)内的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f(x)0. 故f(x)在区间(0,x0)内单调递减,在区间(x0,+)内单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).,-19-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,对点训练3设函数f(x)=ax-2-ln x(aR). (1)若f(x)在点(e,f(e)处的切线为x-ey+b=0,求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间;
11、(3)若g(x)=ax-ex,求证:当x0时,f(x)g(x).,-20-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-21-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-22-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,当x0时,f(x)g(x).,-23-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略一 分离参数法 已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围,一般先分离参数,再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解.即f(x)g(k)f(x)ming(k),f(x)g(k)f(x)maxg(k).,-24-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,
12、(1)求函数f(x)的单调区间; (2)若x1,+),不等式f(x)-1恒成立,求实数a的取值范围.,-25-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,由条件知,2ax2-ex对x1,+)都成立. 令g(x)=x2-ex,h(x)=g(x)=2x-ex, h(x)=2-ex. 当x1,+)时,h(x)=2-ex2-e-1在区间1,+)内恒成立,只需2ag(x)max=1-e,-26-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,对点训练4已知函数f(x)=aln x+bx(a,bR)在点(1,f(1)处的切线方程为x-2y-2=0. (1)求a,b的值;,-27-,题型一,题型二,
13、题型三,策略一,策略二,策略三,-28-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-29-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略二 分类讨论法 当不等式中的参数无法分离,或含参不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时,应用分类讨论的方法来处理,分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素,为问题的解决提供新的条件.因此,求参数的范围转换成了讨论参数在哪些范围能使不等式成立.,-30-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,例5已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程; (2)
14、当x(1,+)时,f(x)0,求a的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+).当a=4时, f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f(x)=ln x+ -3,f(1)=-2,f(1)=0. 曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.,-31-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,(2)当x(1,+)时,()当a2,x(1,+)时,x2+2(1-a)x+1x2-2x+10,故g(x)0,g(x)在区间(1,+)内单调递增, 因此g(x)0; ()当a2时,令g(x)=0得,由x21和x1x2=1得x11, 故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x
15、)在区间(1,x2)内单调递减,因此g(x)0. 综上,a的取值范围是(-,2.,-32-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,对点训练5已知函数f(x)=m(x-1)ex+x2(mR). (1)若m=-1,求函数f(x)的单调区间; (2)若对任意的xf(x)恒成立,求m的取值范围.,解 (1)当m=-1时,f(x)=(1-x)ex+x2,则f(x)=x(2-ex). 由f(x)0得0ln 2, 故函数f(x)的单调递增区间为(0,ln 2),单调递减区间为(-,0),(ln 2,+).,-33-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,因为x0. 令h(x)=mex-x
16、-m,则h(x)=mex-1, 当m1时,h(x)ex-1h(0)=0,符合题意; 当m1时,h(x)在(-,-ln m)内单调递减,在(-ln m,0)内单调递增, 所以h(x)min=h(-ln m)h(0)=0,不符合题意. 综上所述,m的取值范围为(-,1.,-34-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,突破策略三 分别求函数最值法 若两边变量不同的函数不等式恒成立,求不等式中的参数范围,常用分别求函数最值求解.即 若对x1I1,x2I2,f(x1)g(x2)恒成立,则f(x)ming(x)max. 若对x1I1,x2I2,使得f(x1)g(x2),则f(x)ming(x)
17、min. 若对x1I1,x2I2,使得f(x1)g(x2),则f(x)maxg(x)max.,-35-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-36-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-37-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-38-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-39-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-40-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,当m0时,f(x)0时,由f(x)=0,解得x=2m. 令f(x)0,解得0x2m,此时函数f(x)单调递增; 令f(x)0,解得2mx,此时函数f(x)单调
18、递减. 此时函数f(x)的单调递增区间为(0,2m),单调递减区间为(2m,+).,-41-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-42-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,策略三,-43-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,突破策略一 求导与数形结合法 研究函数零点或方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况.其基本的思路为:(1)构造函数,并求其定义域;(2)求导数,得单调区间和极值点;(3)通过数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.,-44-,题型一,题型二,题型三
19、,策略一,策略二,例7函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然对数的底数,aR. (1)当a0时,解不等式f(x)0; (2)当a=0时,求整数t的所有值,使方程f(x)=x+2在区间t,t+1上有解. 解:(1)因为ex0,所以不等式f(x)0等价于ax2+x0.,-45-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,(2)当a=0时,方程f(x)=x+2即为xex=x+2. 因为ex0,所以x=0不是方程的解,所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间1,2和-3,-2上, 所以整数t的所有值为-3,1.,-46-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,对点训练7已知函数
20、f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2. (1)求a; (2)证明:当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.,(2)证明 由(1)知f(x)=x3-3x2+x+2,设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4, 由题设知1-k0.当x0时,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增, g(-1)=k-10,所以g(x)=0在(-,0有唯一实根. 当x0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).,-47-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,h(x)=3x
21、2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+)内单调递增,所以g(x)h(x)h(2)=0, 所以g(x)=0在(0,+)内没有实根. 综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.,-48-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,突破策略二 分类讨论法 1.如果函数中没有参数,那么可以直接一阶求导得出函数的极值点,判断极值点大于0和小于0的情况,进而判断函数零点的个数; 2.如果函数中含有参数,那么一阶导数的正负往往不好判断,这时要对参数进行分类,在参数小的范围内判断导数的符号.如果分类也不好判断,那么需要对一阶导函数进行再次求
22、导,在判断二阶导数的正负时,也可能需要分类. 3.分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素,为问题的解决提供新的条件.,-49-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-50-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-51-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,因为x0(从右侧趋近0)时,f(x)+;x+时,f(x)+,所以f(x)有两个零点. 当00,f(x)为增函数;当x(a,1)时,f(x)0,f(x)为增函数. 所以f(x)在x=a处取到极大值,f(x)在x=1处取到极小值.,当0a1时,f(a)0,即当x(0,1)时,f(x)0. 而当x(1,+)时,f(x)为增函数,且
23、当x+时,f(x)+.所以此时f(x)有一个零点.,-52-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-53-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,对点训练8已知函数f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x. (1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线; (2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.,解:(1)由题意可知f(x)=3x2+a.设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f(x0)=0,-54-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,(2)当x(1,+)时,g(x)=-l
24、n x0, 从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)内无零点.,故x=1不是h(x)的零点. 当x(0,1)时,g(x)=-ln x0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.,-55-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,()若a-3或a0,则f(x)=3x2+a在(0,1)内无零点,故f(x)在(0,1)内单调.,-56-,题型一,题型二,题型三,策略一,策略二,-57-,1.常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等. 2.关于二次求导问
25、题:(1)在讨论函数单调性时,如果导函数值的符号不容易确定,那么一般是对导函数再次求导判断出导函数的单调性,通过导函数的零点来确定导函数值的符号,从而判断出原函数的单调性;(2)利用求导的方法可求出某一函数的最值,如果求出的最值仍然是含有变量的表达式,那么再确定这一表达式的最值时仍然需要求导.,-58-,3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值. 4.所求问题如何转化成能利用导数解决的问题是关键.直接利用导数解决的问题一个是函数的单调性,一个是函数的极值或最值,所以应将具体问题通过等价转换(或构造函数),使所求问题转化成与单调性或函数的极值、最值有关的问题.,
